【知识拓展】收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：证明：假设数列有两个极限 a 与 b，即与，根据数列极限定义，对于任意的 ε>0 分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有．取，当 n>N 时，同时有与，于是当 n>N 时，有因为a 与 b 是常数，2ε 是任意小的正数，所以只有 a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的．定理 2：（有界性）若数列收敛，则有界，即存在正数 M，对任意自然数 n 有证明：设，根据数列极限的定义，取定（ε 可以根据需要任意选取），存在自然数 N，当 n>N 时，有因为，所以当 n>N 时，有或即…．在数列中不满足不等式的项充其量不过是前 N 项：.令．于是，对任意自然数 n，有定理 2 指出收敛的数列必有界．反之，有界数列不一定收敛．例如，已知数列是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．2．什么是有界数列?定义：若存在两个数 A，B(设 A0)都是的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．(2)对于数列，如果存在正整数 N，当 n>N 时，总有,我们就说数列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在 N 项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，那么 min(A，α)和 max(B，β)就是整个数列的下界和上界．(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数 M，使得，就称是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点Ｏ的一个 M 邻域Ｏ(O，M)，使得所有，就称是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．3．什么是单调有界数列?设是一个数列，如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的．如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的．例如就是一个单调减少的数列．如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的．4．数列的收敛判别法有哪法?方法 1．若存在自然数 N，当 n>N，总有，且，则[注：方法 1 被称为夹挤定理．]例 1 计算思路启迪只 要 找 到 两 个 数 列与， 使则规范解法 方法 2．单调有界数列存在极限．例 2 证明数列收敛，并求它的极限．思路启迪 首先对于这种随 n 的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明...
