第 3 节 圆与圆的方程最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心 C(a，b)半径为 r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 圆心坐标：半径 r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在圆外；(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；(3)|MC|＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在圆内.[微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2＋y2＝r2.2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)方程 x2＋y2＝a2表示半径为 a 的圆.( )(3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆.( )(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )解析 (2)当 a＝0 时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当 a＜0 时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即 m＜或 m＞1 时表示圆.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修 2P82 练习 1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是( )A.(2，3)，3 B.(－2，3)，C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝.答案 D3.(必修 2P82 练习 2 改编)过点 A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( )A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析 设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 x＋y－2＝0 上，所以 b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以 a＝1，b＝1.所以 r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案 C4.(2018·汉中调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取值范围是( )A.(－1，1) B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1解析 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4...
