第七节函数与方程突破点一 函数的零点问题1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有f ( a )· f ( b )<0 ，那么函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．[提醒] 函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程 f(x)＝0 的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)( x 1,0)无零点个数_2__1__0_一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2) 函 数 y ＝ f(x) ， x∈D 在 区 间 (a ， b)⊆D 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) ， 则f(a)·f(b)<0.( )(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac<0 时没有零点．( )答案：(1)× (2)× (3)√二、填空题1．若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x)＝bx2＋3ax 的零点是________．解析： 函数 f(x)＝ax－b 的零点是 3，∴3a－b＝0，即 b＝3a.于是函数 g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令 g(x)＝0，得 x＝0 或 x＝－1.答案：0，－12．函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点个数为________．解析： f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在 R 上单调递增，又 f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，∴函数 f(x)在定义域内有零点且只有一个．答案：13．若函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是________．解析：当 a＝0 时，函数 f(x)＝1 在(－1,1)上没有零点，所以 a≠0.所以函数 f(x)是单调函数，要满足题意，只需 f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得
