利用导数研究存在性与任意性专题

利用导数讨论存在性与任意性专题(7 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。利用导数讨论恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数讨论不等式恒成立问题[典例] 设 f(x)＝ex－a(x＋1)．(1)若∀x∈R，f(x)≥0 恒成立，求正实数 a 的取值范围；(2)设 g(x)＝f(x)＋，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线 y＝g(x)上任意两点，若对任意的 a≤－1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围．[解] (1)因为 f(x)＝ex－a(x＋1)，所以 f′(x)＝ex－a．由题意，知 a＞0，故由 f′(x)＝ex－a＝0，解得 x＝ln a．故当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．所以函数 f(x)的最小值为 f(ln a)＝eln a－a(ln a＋1)＝－aln a．由题意，若∀x∈R，f(x)≥0 恒成立，即 f(x)＝ex－a(x＋1)≥0 恒成立，故有－aln a≥0，又 a＞0，所以 ln a≤0，解得 0＜a≤1．所以正实数 a 的取值范围为(0,1]．(2)设 x1，x2是任意的两个实数，且 x1＜x2．则直线 AB 的斜率为 k＝，由已知 k＞m，即＞m．因为 x2－x1＞0，所以 g(x2)－g(x1)＞m(x2－x1)，即 g(x2)－mx2＞g(x1)－mx1．因为 x1＜x2，所以函数 h(x)＝g(x)－mx 在 R 上为增函数，故有 h′(x)＝g′(x)－m≥0 恒成立，所以 m≤g′(x)．而 g′(x)＝ex－a－，又 a≤－1＜0，故 g′(x)＝ex＋－a≥2－a＝2－a．而 2－a＝2＋()2＝(＋1)2－1≥3，所以 m 的取值范围为(－∞，3]．[方法点拨]解决该类问题的关键是根据已知不等式的结构特征灵活选用相应的方法，由不等式恒成立求解参数的取值范围问题一般采纳分离参数的方法．而第(2)问则巧妙地把直线的斜率与导数问题结合在一起，命题思路比较新颖，解决此类问题需将已知不等式变形为两个函数值的大小问题，进而构造相应的函数，通过导函数讨论其单调性解决．[对点演练]已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)若对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．(2)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立．解：(1)由题意知 2xln x≥－x2＋ax－3 对一切 x∈(0，＋∞)恒成立，则 a≤2ln x＋x＋，设 h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则 h′(x)＝．① 当 x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；② 当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以 h(x)min＝h(1)＝4，对一切 ...