§8.3直线、平面平行的判定与性质考点平行的判定与性质8.(2015安徽,19,13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EF∥B1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.解析(1)证明:由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D,又A1D⊂面A1DE,B1C⊄面A1DE,于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1,面A1DE∩面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.(2)因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB⊥AD且AA1=AB=AD,以A为原点,分别以,,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1⊥,n1⊥得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为==.评析本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.9.(2013安徽,19,13分)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cos∠COD.解析(1)证明:设面PAB与面PCD的交线为l.因为AB∥CD,AB不在面PCD内,所以AB∥面PCD.又因为AB⊂面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以AB∥l.由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)设CD的中点为F.连结OF,PF.由圆的性质,得∠COD=2∠COF,OF⊥CD.因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD,又OP∩OF=O,故CD⊥面OPF.又CD⊂面PCD,因此面OPF⊥面PCD,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与面PCD所成的角.由题设,知∠OPF=60°.设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan60°=h.根据题设有∠OCP=22.5°,得OC==.由1=tan45°=和tan22.5°>0,可解得tan22.5°=-1,因此OC==(+1)h.在Rt△OCF中,cos∠COF===-,故cos∠COD=cos2∠COF=2cos2∠COF-1=2(-)2-1=17-12.评析本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系,直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能,考查空间观念、推理论证能力和运算求解能力.10.(2012江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE.评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.11.(2012辽宁,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',点M,N分别为A'B和B'C'的中点.(1)证明:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.解析(1)证法一:连结AB',AC',因为∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.(6分)证法二:取A'B'中点P,连结MP,NP.因为M,N分别为A'B与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.(6分)(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA'为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示.设AA'=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的法向量,由得可取m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,由得可取n=(-3,-1,λ).因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=.(12分)评析本题考查空间中线面关系及面面关系等基础知识,考查学生的空间想象力、运算能力和推理论证能力.
