2.数列1.(2017·原创押题预测卷)已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；(2)若{an}是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.解(1)设{an}的公差为d，则S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18，所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3(n－1)＝3n＋2.(2)设{an}的公比为q，则S1＝a1＝3，S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，所以a2＝9，q＝＝3，an＝3×3n－1＝3n，所以Sn＝n×3＋(n－1)×32＋…＋2×3n－1＋3n，①3Sn＝n×32＋(n－1)×33＋…＋2×3n＋3n＋1，②②－①，得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n)＋3n＋1＝－3n＋＋3n＋1＝－3n－＋＋3n＋1＝，所以Sn＝.2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的前n项和为Tn，若q>0且b3＝a5，T3＝13，求Tn；(3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.解(1)解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)由题意可知，b3＝a5＝9，T3＝13，所以公比q＝3，从而b1＝1，所以Tn＝＝＝(3n－1).(3)由(1)知，an＝2n－1.所以cn＝＝＝，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＝＝.3.(2017·广东七校联考)设数列{an}的前n项之积为Tn，且log2Tn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝λan－1(n∈N*)，数列{bn}的前n项之和为Sn.若对任意的n∈N*，总有Sn＋1>Sn，求实数λ的取值范围.解(1)由log2Tn＝，n∈N*，得Tn＝，所以Tn－1＝(n∈N*，n≥2)，所以an＝＝＝2n－1，n∈N*，n≥2.又a1＝T1＝20＝1，所以an＝2n－1，n∈N*.(2)由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，得Sn＝λ·－n＝λ－n，所以Sn＋1>Sn⇔λ－>λ－n⇔2nλ>1⇔λ>，因为对任意的n∈N*，≤，故所求的λ的取值范围是.4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn，n)，b＝(9n－7，2)，且a与b共线.(1)求数列的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Tm.解(1)a与b共线，Sn＝＝n2－n，a1＝1，an＝Sn－Sn－1＝9n－8，n≥2，所以an＝9n－8，n∈N*.(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8.因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1.于是Tm＝b1＋b2＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝－＝.5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{an}的通项公式为an＝(n≥1，n∈N*).(1)求a1，a2，a3的值；(2)求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立.(1)解将n＝1，2，3代入可得a1＝，a2＝，a3＝.(2)证明由an＝＝(n≥1，n∈N*)可得a1·a2·…·an＝，因此欲证明不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立，只需要证明对任意非零自然数n，不等式…＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－＝1－＝1－＞1－＝.故只需证明对每个非零自然数，不等式…≥1－恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立：①显然当n＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式(*)也成立，即不等式…≥1－成立.那么当n＝k＋1时，…≥，即…≥1－－＋，注意到＞0，所以…≥1－，这说明当n＝k＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即…≥1－＞恒成立，故不等式a1·a2·…·an＜2·n！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数.(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列.(1)解c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2.当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak在k∈N*时单调递减.所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差数列.(2)证明设数...
