专题 06 四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．2．四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．(2)圆内接四边形的对角互补．(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．3．四点共圆的判定(1)用“角”判定：① 一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；② 一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；③ 如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若 OA＝OB＝OC＝OD，则 A，B，C，D 四点共圆．(3)用“比例线段”判定：若线段 AB，CD(或其延长线)交于点 P，且 PA·PC＝PB·PD，则 A，B，C，D 四点共圆.模型解读：模型 1：对角互补型：若∠A+∠C=180º 或∠B+∠D=180º,则 A、B、C、D 四点共圆模型 2：同侧等角型（1）若∠A=C,∠则 A、B、C、D 四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：△OCDOAB∽△结论：①△OACOBD∽△②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=AOB∠；③ 点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.模型 3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【典例分析】【模型 1：对角互补型】【典例 1】如图,正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到正方形 AEFG,连接 BE,延长BE 交于 CF 于点 M,求证：M 是线段 CF 的中点.【变式 1】如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=8,P、E 分别是线段 AC、BC 上的点,四边形 PEFD 为矩形,若 AP=2,求 CF 的长。【模型 2：同侧等角型】【典例 2】在 Rt ABC△中,ACB=90º,∠将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 αº(0＜α＜180)得△ADE,AED=90º,∠直线 BD 与直线 CE 的交点为 P.求证：PB=PD【模型 3：直径是圆中最长的弦】【 典 例 3 】 在 △ ABC 中 ,ACB=90º,AC=6,BC=8,O∠为 AB ...
