13．4 课题学习 最短路径问题1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】 两点的所有连线中 ， 线段最短 如图所示，在河 a 两岸有 A、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接 AB 交直线 a 于点 P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】 运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线 l 上找到一点 M，使它到 A，B 两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线 l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点 M 即为所求的点．解：如图所示：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；(2)连接 AB′交直线 l 于点 M；(3)点 M 即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水．(1)若要使厂址到 A，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到 A、B 两村的距离相等，即作出 AB 的垂直平分线与 EF 的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出 A 点关于直线 EF 的对称点 A′，再连接 A′B 交 EF 于点 N，即可得出答案．解：(1)作出 AB 的垂直平分线与 EF 的交点 M，交点 M 即为厂址所在位置； (2)如图所示：作 A 点关于直线 EF 的对称点 A′，再连接 A′B 交 EF 于点 N，点 N 即为所求．【类型四】 运用轴对称解决距离之差最大问题 ...
