2025-2026学年人教八年级数学上册13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 框格式教案

第 2 课时 含 30°角的直角三角形的性质 教学目标 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为 30°的性质． 2．有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单应用． 教学重点 含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点 1．含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含 30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含 30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ Ⅱ．导入新课用含 30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)DCAB (2)DCAB 其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以 AB=AC，又因为Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形． 由此能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证明它吗？ 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC= 12 AB．CAB DCAB 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接AD． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如下图） ∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC= 12 BD= 12 AB． [例 ]右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB的 中 点 ， 立 柱BC 、 DE垂 直 于 横 梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱 BD、DE 要多长？ 分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°，所以DE= 12 AD，BC= 12 AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= 14 AB． 解：因为 DE⊥AC，BC⊥A...