24．1.2 垂直于弦的直径1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题． 一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有 1400 多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解 如图所示，⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD＝6cm，则直径 AB 的长是( )A．2cm B．3cmC．4cm D．4cm解析： 直径 AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接 OD， P 是 OB 的中点，设 OP 为 x，则 OD为 2x，在 Rt△DOP 中，根据勾股定理列方程 32＋x2＝(2x)2，解得 x＝.∴OD＝2，∴AB＝4.故选 D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB)，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB上一点，OC⊥AB，垂足为 D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理， OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为 R，根据勾股定理可列方程 R2＝(R－50)2＋1502，解得 R＝250.故答案为 250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角 如图所示，⊙O 的弦 AB、AC 的夹角为 50°，M、N 分别是AB、AC的中点，则∠MON的度数是( )A．100° B．110°C．120° D．130°解析：已知 M、N 分别是AB、AC的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选 D.【类型二】利用垂径定理的推论求边 如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB＝10cm，点 P 是⊙O 上的动点(与 A、B ...
