椭圆焦点三角形面积

椭圆焦点三角形面积公式的应用多年来，椭圆、双曲线相关的焦点为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型.定理 在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点 P 是椭圆上任意一点，，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在△中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例 1 若 P 是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.Py F1 O F2 xP解法一：在椭圆中，而记点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在△中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，，而解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已 知 P 是 椭 圆上 的 点 ，、分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若，则△的面积为（ ）A. B. C. D. 解：设，则，故选答案 A.例 3（04 湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点 P 在椭圆上. 若 P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角顶点，则点 P 到轴的距离为半通径的长；若 P 是直角顶点，设点 P到轴的距离为 h，则，又，故答案选 D.金指点睛1. 椭圆上一点 P 与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P 是椭圆上一点，当 △的面积为 1 时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、， P 是椭圆上一点，当 △的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P 为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A．1 B． C． D．5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点 P 在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是 20，离心率为，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P 为椭圆上一点，且，△ 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：，.故答案选 D.2. 解：设， ，，.故答案选 A.3. 解：，设， ，当△的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，，.故答案选 D.4． 解：，，，又，，从而.故答案选 C.5. 解：设，则. ，又，，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.6．解：设，.，.又，即.或.当时，，这时椭圆的标准方程为；当时，，这时椭圆的标准方程为；但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为.