【金版学案】2015-2016 年高中数学 2.4 幂函数学案 苏教版必修 11．形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中 α 为常数，只研究 α 为有理数的情形．例如：函数 y＝x2，y＝x4是幂函数，而函数 y＝2x2不是幂函数．2．幂函数 y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y＝xα恒过定点(1)(1 ， 1) ．当 α＞0 时，所有幂函数都过定点(0 ， 0) 和 (1 ， 1) ．(2)单调性：当 α＞0 时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0 时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．(3)奇偶性：当 α 为整数且为奇数时，y＝xα为奇函数；当 α 为整数且为偶数时，y＝xα为偶函数；当 x 为分数时，可将 y＝xα化为根式再判断．4．在函数 y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中是幂函数的有________．答案：y＝5．函数 y＝x3的定义域是______；y＝x 的定义域是______；y＝x 的定义域是______．答案：R [0，＋∞) R一、幂函数(1)y＝xα中的 α 是任意实数，要确定一个幂函数的解析式，只需确定出 α 即可．(2)要把幂函数和指数函数区别开来，幂函数的底为自变量，指数为常数，指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量．二、幂函数的图象和性质(1)幂函数图象的性质：① 都过点(1，1)；②0＜α＜1 时，在第一象限内图象上凸，α＞1 时图象下凸；③ 除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；④ 任何两个幂函数图象最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点；⑤α>0 时幂函数图象总过原点，α<0 时，幂函数图象不过原点．(2)幂函数的图象在第一象限的分布规律：① 在经过点(1，1)平行于 y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；② 幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、二象限关于 y 轴对称，幂指数的分子、分母都是奇数时，图象在第一、第三象限关于坐标原点对称． 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(A)A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x－2．右图所示的是函数 y＝x(m，n∈N*且 m，n 互质)的图象，则(C)A．m，n 是奇数且<1B．m 是偶数，n 是奇数，且>1C．m 是偶数，n 是奇数，且<1D．m，n 是偶数，且>1解析：由图象知 y＝x 为偶函数，且 m、n 互质，∴m 是偶数，n ...
