高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-1-1 直线与平面垂直的判定学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

一 直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线和平面垂直的判定定理1．直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[答案] 定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．2．线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线 l 必须有公共点吗？[答案] 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解【典例 1】 下列命题中，正确的序号是________．① 若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α；②若直线 l 不垂直于平面 α，则α 内没有与 l 垂直的直线；③若直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l垂直；④若平面 α 内有一条直线与直线 l 不垂直，则直线 l 与平面 α 不垂直．[解析] 当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；根据线面垂直的定义，若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确．[答案] ③④(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若 a⊥α，bα，则 a⊥b.[针对训练 1] 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若 l⊥m，mα，l⊥αB．若 l⊥α，l∥m，则 m⊥αC．若 l∥α，mα，则 l∥mD．若 l∥α，m∥α，则 l∥m[解析] 对于 A，直线 l⊥m，m 并不代表平面 α 内任何一条直线，所以不能判定线面垂直；对于 B，因 l⊥α，则 l 垂直 α 内任何一条直线，又 l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面 α 内任何一条直线所成的角都是 90°，即 m⊥α，故 B 正确；...