高中数学 第4章 对数运算和对数函数 2 对数的运算学案（含解析）北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学学案

§2 对数的运算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握对数的运算性质．(重点)2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点)1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养．2．通过对数的运算性质及换底公式的推导的，培养逻辑推理素养．1．对数的运算性质若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN，(2)loga＝logaM － log aN，(3)logaMn＝n log aM(n∈R).2．换底公式若 c>0 且 c≠1，则 logab＝(a>0，且 a≠1，b>0).思考：结合对数的换底公式探究 logba 与 logab，loganbm与 logab 之间有什么关系？提示：logba＝，loganbm＝logab.1．已知 lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于( )A． B． C．10 D．100B [由已知得 lg ＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，∴＝10－1＝.]2.＝( )A． B．2 C． D．B [原式＝＝＝2.]3．lg ＋lg 的值是________．1 [lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.]4．用 lg x，lg y，lg z 表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg ；(3)lg ； (4)lg .[解] (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg ＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.(3)lg ＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.(4)lg ＝lg －lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z．对数运算性质的应用【例 1】 求下列各式的值：(1)log2(47×25)；(2)lg ；(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；(4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解] (1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝1.对数式的化简与求值的思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．1．求下列各式的值(1)2；(2)log312－log32；(3)lg25＋2lg 2－lg22.[解] (1)2＝24×2log23＝16×3＝48.(2)log312－log32＝log3－log32＝log3＝log3＝ .(3)法一：lg25＋2lg 2－lg22＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg ...