8.1.1 向量数量积的概念学 习 目 标核 心 素 养1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.1.两个向量的夹角给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA＝a，OB＝b，则称[0，π]内的∠ AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作〈a，b〉．(1)两个向量夹角的取值范围是[0 ， π] ，且〈a，b〉＝〈 b ， a 〉 ．(2)当〈a，b〉＝时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 a ⊥ b .2.向量数量积的定义一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称| a || b |cos 〈 a ， b 〉 为向量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，即 a·b＝| a || b |·cos 〈 a ， b 〉 ．(1)当〈a，b〉∈时，a·b>0; 当〈a，b〉＝时，a·b＝0；当〈a，b〉∈时，a· b<0.(2)两个非零向量 a，b 的数量积的性质：不等式|a·b|≤ |a||b|恒等式a·a＝a2＝| a | 2 ，即|a|＝向量垂直的充要条件a⊥b ⇔a · b ＝03.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l，则向量 a 在直线 l 上的投影称为 a 在向量 b 上的投影．(2)一般地，如果 a，b 都是非零向量，则| a |cos 〈 a ， b 〉 为向量 a 在向量 b 上的投影的数量．(3)两个非零向量 a，b 的数量积 a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1.已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为，则 a 在 b 方向上的投影为( )A． B． C． D．D [向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos ＝.故选 D．]2.在△ABC 中，AB＝a，BC＝b，且 b·a＝0，则△ABC 是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定C [在△ABC 中，因为 b·a＝0，所以 b⊥a，故△ABC 为直角三角形．]3.如图，在△ABC 中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为________．互补 [根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角为 π－∠BAC，故二者互补．]4．如图所示，一个大小为 5 N，与水平方向夹角...
