3.1.1 两角差的余弦公式互动课堂疏导引导1.两角差的余弦公式下面我们从两方面对两角差的余弦公式进行证明.(1)利用单位圆上的三角函数线探究如图 3-1-1 甲,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点 P 作 PM垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是 α-β 的余弦线.这里就是要用角 α、β 的正弦线、余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B.过点 P作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么 OA 表示 cosβ,AP 表示 sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβ·cosα+sinβ·sinα.以上结果虽然是在 α、β、α-β 都是锐角的情况下推导出来的,但是可以推广到对任意角α、β 都成立(如图 3-1-1 乙). 甲 乙图 3-1-1(2)运用向量的知识进行探究图 3-1-2 如图 3-1-2,设 α、β 的终边分别与单位圆交于点 P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数,所以我们只考虑 0≤α-β＜π 的情况.设向量 a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),则 a·b=|a||b|·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有 a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(Cα-β)于是,对于任意的 α、β,都有上述式子成立.2.对两角差的余弦公式的理解与记忆(1)上述公式中的 α、β 都是任意角.(2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.(3)要注意差角的相对性,掌握角的变化技巧.如 α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用1.利用两角差的余弦公式证明:(1)cos(π-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.证明:(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.(2)cos(-α)=coscosα+sinsinα=0·cosα-sinα=-sinα.2.已知 sinα=,cosβ=,α、β 均为第二象限角,求 cos(α-β).解析:由 sinα=,α 为第二象限角,∴cosα=.又由 cosβ=-,β 为第二象限角,∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×()+×=.3.已知 tanα=-,π＜α＜2π,求 cos(-α).解析:由 tanα=-＜0,π＜α＜2π,∴＜α＜2π.由 1+tan2α=,得 cos2α=.∵＜α＜2π,∴cosα=.由 sinα=,∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=×+×()=.4.已知＜β＜α＜,cos(α-β)= ,sin(α+β)= ,求 cos2β.解析:∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜,π＜α+β＜.∴sin(α-β)=,cos(α+β)=,cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=- ×+()×=-.
