3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较 cos(α-β)与 cos(α+β),并且注意到 α+β 与 α-β 之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C(α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(-α+β)=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,即 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S(α-β))在上式中,以-β 代 β 可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S(α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角 α、β 都成立.(2)搞清 sin(α±β)的意义.例如 sin(α+β)是两角 α 与 β 的和的正弦,它表示角 α+β终 边 上 任 意 一 点 的 纵 坐 标 与 原 点 到 这 点 的 距 离 之 比 . 在 一 般 情 况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如 α=,β=时,sin(+)=sin=1,sin+sin=+=≠1.∴sin(+)≠sin+sin.只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当 α=0,β=时,sin(0+)=sin=,sin0+sin=0+=,∴sin(0+)=sin0+sin.在学习时一定要注意:不能把 sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简 sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于 sin(20°-50°)=-sin30°=-.(4) 灵 活 运 用 和 ( 差 ) 角 公 式 . 例 如 化 简 sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ, 不 要 将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式 sin［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当 cos(α+β)≠0 时 , 将 公 式 S(α+β),C(α+β) 的 两 边 分 别 相 除 , 有 tan(α+β)=.当 cosα·cosβ≠0 时,将上式的分子、分母分别除以 cosα·cosβ,得tan(α+β)=(T(α+β)).由于 tan(-β)==-tanβ.在 T(α+β)中以-β 代 β,可得tan(α-β)=(T(α-β)).5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为 y=tanx 的定义域为 x≠+kπ,k∈Z.所以 T(α±β)只有在 α≠+kπ,β≠+kπ,α±β≠+kπ 时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当 tanα、tanβ 或 tan(α±β)的值不存在时,不能使用 T(α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简 tan(-β)...
