高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一 半角公式思考 1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 2α 替换 α，结果怎样？答案 结果是 cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.思考 2 根据上述结果，试用 sin α，cos α 表示 sin ，cos ，tan .答案 cos2＝，∴cos ＝± ，同理 sin ＝± ，∴tan ＝＝± .思考 3 利用 tan α＝和倍角公式又能得到 tan 与 sin α，cos α 怎样的关系？答案 tan＝＝＝，tan ＝＝＝.梳理sin ＝± ， cos＝± ，tan ＝± ＝＝ .知识点二 辅助角公式思考 1 asin x＋bcos x 化简的步骤有哪些？答案 (1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角 θ 满足：cos θ＝，sin θ＝(或 sin θ＝，cos θ＝).一般 θ 为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或(sin θsin x＋cos θcos x)).(3)化简、逆用公式得 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或 asin x＋bcos x＝cos(x－θ)).思考 2 在上述化简过程中，如何确定 θ 所在的象限？答案 θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定.梳理 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).(其中 tan θ＝)类型一 应用半角公式求值例 1 已知 sin θ＝，＜θ＜3π，求 cos 和 tan .解 sin θ＝，且＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.由 cos θ＝2cos2－1，得 cos2＝＝. ＜＜，∴cos ＝－ ＝－.tan ＝＝2.反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：① 先化简所求的式子；② 观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练 1 已知 sin α＝－，且 π<α<，求 sin ，cos 和 tan .解 sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－.又 π<α<，∴<<，∴sin ＝ ＝ ＝，cos ＝－ ＝－ ＝－，tan ＝＝－4.类型二 三角恒等式的证明例 2 求证：＝.证明 要证原式，可以证明＝. 左边＝＝＝＝tan 2θ，右边＝＝tan 2θ，∴左边＝右边，∴原式得证.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目...