高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 一元二次不等式的应用[目标] 1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题．[重点] 利用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题．[难点] 从实际问题中建立一元二次不等式的模型．知识点一 简单的分式不等式的解法 [填一填]若 f(x)与 g(x)是关于 x 的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．(1)>0⇔f ( x ) g ( x )>0 ；(2)<0⇔f ( x ) g ( x )<0 ；(3)≥0⇔；(4)≤0⇔.[答一答]1．不等式<0 的解集为.解析：原不等式可以化为(2x－1)(2x＋1)<0，即<0，故原不等式的解集为.2．不等式≥0 的解集是{ x | x >4 或 x ≤ － 2} ． 解析：原不等式等价于解得 x>4 或 x≤－2，故不等式的解集是{x|x>4 或 x≤－2}．知识点二 不等式中的恒成立问题 [填一填]1．不等式的解集为 R 的条件2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法y≤a 恒成立⇔ymax≤ay≥a 恒成立⇔ymin≥a[答一答]3．不等式 f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：知识点三 一元二次不等式的实际应用 [填一填]对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言，从而把实际问题转换成数学问题．同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑．[答一答]4．解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；(3)解不等式(或求函数最值)；(4)回扣实际问题．类型一 简单的分式不等式的解法[例 1] 解下列不等式．(1)≥0；(2)>1.[分析] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．[解] (1) ≥0⇔⇔⇔x<－或 x≥，∴原不等式的解集为{x|x<－，或 x≥}．(2)方法一：原不等式可化为或⇔或⇔－30⇔>0⇔<0⇔(2x＋1)(x＋3)<0⇔－3