高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第2节 一般形式的柯西不等式创新应用教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

第 2 节 一般形式的柯西不等式创新应用[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ) 或存在一个数k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋…＋ a nbn) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成 ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以 ， a i· b i 的顺序要与左侧 a i， b i 的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若 b i＝ 0 而 a i≠0 ， 则 k 不存在 ． 设 a，b，c 为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即 2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，① 中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c 不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中 ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设 a，b，c 为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明： ＝·[()2＋()2＋()2]≥＝(a＋b＋c)2，即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，又 a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c>0，∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立。 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝＋＋ 的最大值．[精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1×＋1×＋1×)2，故＋＋≤2.当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即 x＝，y＝，z＝时，等号成立，此时 umax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的...