二 一般形式的柯西不等式 对应学生用书 P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个实数 k 使得 ai＝ kb i( i ＝ 1,2,3) 一般形式柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数 k，使得 ai＝ kb i( i ＝ 1,2 ，…， n ) [说明] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 对应学生用书 P32利用柯西不等式证明不等式[例 1] 设 x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] (x1＋x2＋…＋xn)＝[(1)2＋()2＋…＋()2]≥2＝n2，∴＋＋…＋≥.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知 a，b，c，d∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤3.证明：根据柯西不等式，有(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3.利用柯西不等式求最值[例 2] (1)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1.求 ＋ ＋ 的最小值．(2)设 2x＋3y＋5z＝29.求函数 μ＝＋＋的最大值．[思路点拨] (1)利用＋＋＝(x＋y＋z)．(2)利用(＋＋)2＝1×＋1×＋1×)2.[解] (1) x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当 x＝＝，即 x＝，y＝，z＝时取等号．所以＋＋的最小值为 36.(2)根据柯西不等式，有(·1＋·1＋·1)2≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2 ，当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即 x＝，y＝，z＝时等号成立．此时 μmax＝2 .利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·的最小值为________．解析：(a＋b...
