二 一般形式的柯西不等式 对应学生用书 P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个实数 k 使得 ai＝ kb i( i ＝ 1,2,3) 一般形式柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数 k，使得 ai＝ kb i( i ＝ 1,2 ，…， n ) [说明] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 对应学生用书 P32利用柯西不等式证明不等式[例 1] 设 x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥
[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] (x1＋x2＋…＋xn)＝[(1)2＋()2＋…＋()2]≥2＝n2，∴＋＋…＋≥
柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2
其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知 a，b，c，d∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤3
证明：根据柯西不等式，有(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3
利用柯西不等式求最值[例 2] (1)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1
