高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．知识点一 平面的法向量思考 平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理 平面的法向量已知平面 α，如果________________________________，则向量 n 叫做平面 α 的法向量或说向量 n 与平面 α 正交．知识点二 平面的向量表示设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则适合条件____________的点 M 的集合构成的图形是过空间内一点 A 并且与 n 垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理1．两平面平行或垂直的判定方法设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则容易得到α∥β 或 α 与 β 重合⇔____________；α⊥β⇔__________⇔__________.2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．类型一 求平面的法向量例 1 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量．引申探究若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．平面 PAB⊥平面 ABCD，△PAB是边长为 1 的正三角形，ABCD 是菱形．∠ABC＝60°，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的法向量．类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面 ADE；(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练 2 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45°，底面 ABCD...