第六节双曲线A组基础题组1.已知椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为()A.B.C.4D.2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.5.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.6.(2017北京朝阳二模,9)双曲线-=1的渐近线方程是,离心率是.7.(2017北京房山一模,11)已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为.8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线l的倾斜角为,且C的一个焦点到l的距离为,则双曲线C的方程为.9.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.B组提升题组10.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.11.如果双曲线的离心率e=,则称此双曲线为黄金双曲线,有以下几个命题:①双曲线-=1是黄金双曲线;②双曲线y2-=1是黄金双曲线;③在双曲线-=1中,F1为左焦点,A2为右顶点,B1(0,b),若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;④在双曲线-=1中,过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点,O为坐标原点,若∠MON=120°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④12.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.13.(2017北京东城一模,13)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为等边三角形OAB的边OA,OB所在的直线,直线AB过双曲线的焦点,且|AB|=2,则a=.13.若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C:-y2=1(a>0)的渐近线相切,则a=;双曲线C的渐近线方程是.14.若点O和点F2(-,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的对称中心和左焦点,点P(x0,y0)为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为.15.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E.若存在,求出双曲线E的方程.答案精解精析A组基础题组1.C因为椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点(±,0),则有a2-9=7,所以a=4.2.A由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e==,所以a=,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为-=1.3.A设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.4.A若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈.故选A.5.答案2解析由题意知,a2=1,b2=m. e====,∴m=2.6.答案y=±x;解析由题知a=,b=,所以c=3,渐近线方程为y=±x,即y=±x,离心率e==.7.答案10解析由双曲线方程可知b=2, 双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴==2,∴a=,∴c2=5+20=25,∴c=5,∴焦距为2c=2×5=10.8.答案x2-=1解析由题意知双曲线C的渐近线的斜率为±tan=±,即=,①又双曲线C的一个焦点到l的距离为,所以c==2,②由①②及a2+b2=c2知a=1,b=,故双曲线C的方程为x2-=1.9.解析(1) e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). 双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线的方程为-=1.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴=,=,∴·==-. 点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.证法二:由证法一知=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, 点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.B组提升题组10.A由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e==2.选A.11.B对于①,由双曲线方程知a2=2,b2=-1,所以c2=a2+b2=+1,所以e2==...
