第四节数列求和A组基础题组1.数列{an}的通项公式是an=,前n项和为9,则n等于()A.9B.99C.10D.1002.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于()A.1509B.3018C.1512D.20163.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为()A.2500B.2600C.2700D.28004.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=()A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.6.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=.8.(2017北京朝阳期中)已知数列{an}(n∈N*)是公差不为0的等差数列,若a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.9.(2016北京,15,13分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.B组提升题组10.在数列{an}中,an=,若{an}的前n项和Sn=,则n=()A.3B.4C.5D.611.在数列{an}中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos(n+1)π,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2015=.12.在数列{an}中,a2=4,a3=15,若Sn为{an}的前n项和,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=.13.(2017北京海淀二模)已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且4Sn=(an+1)2.(1)求a1,a2的值及{an}的通项公式;(2)求数列的最小值.14.(2016北京朝阳一模)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.15.(2018北京东城期末)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a3+a5=22,b2b4=b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=an-bn,求数列{cn}的前n项和.答案精解精析A组基础题组1.B∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故选B.2.C因为a1=,an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,……,可得an=故数列的前2016项的和S2016=1008×=1512.3.B当n为奇数时,an+2-an=0⇒an=1,当n为偶数时,an+2-an=2⇒an=n,故an=于是S100=50+=2600.4.C由Sn=n2-6n知{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.∴an=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,an<0;n>3时,an>0,易得Tn=5.答案1;121解析由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3,又S1+=,∴是首项为,公比为3的等比数列,∴Sn+=×3n-1,即Sn=,∴S5==121.6.答案-解析∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.7.答案2n+1-2解析由题意知an+1-an=2n,∴当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*),∴Sn==2n+1-2.8.解析(1)设{an}的公差为d(d≠0),因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8.即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),即d2=a1d.又a1=1,且d≠0,所以d=1.所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)由(1)知bn===-.所以Sn=1-+-+…+-,即Sn=1-=.9.解析(1)等比数列{bn}的公比q===3,所以b1==1,b4=b3q=27.设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,…).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+.B组提升题组10.D由an==1-得Sn=n-=n-,Sn==n-,将各选项中的值代入验证得n=6.11.答案-1006解析由a1=1,an+1+(-1)nan=cos(n+1)π,得a2=a1+cos2π=1+1=2,a3=-a2+cos3π=-2-1=-3,a4=a3+cos4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos5π=2-1=1,……,由此可知,数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2015=503×(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1006.12.答案3n--1解析∵{an+n}是等比数列,∴数列{an+n}的公比q====3,则{an+n}的通项为an+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,则an=2·3n-1-n,∴Sn=-=3n--1.13.解析(1)因为4Sn=(an+1)2,所以,当n=1时,4a1=(a1+1)2,∴a1=1,所以,当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,解得a2=-1或a2=3,因为{an}是各项均为正数的等差数列,所以a2=3,所以{an}的公差d=a2-a1=2,所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)因为4Sn=(an+1)2,所以Sn==n2,所以Sn-an=n2-(2n-1)=n2-7n+=-.所以,当n=3或n=4时,Sn-an取得最小值-.故数列的最小值为-.14.解析(1)Sn=2n2-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.当n=1时,a1=S1=1,又4×1-3=1,∴a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=4n-3,n∈N*.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3),当n为偶数时,Tn=-1+5-9+13-17+…+(4n-3)=4×=2n.当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,Tn=15.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.因为a3+a5=2a4=22,所以a4=11=2+3d,解得d=3.又因为b2b4=b1b5=b6=qb5,所以q=b1=2.所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.(2)由(1)知,an=3n-1,bn=2n,n∈N*.因此cn=an-bn=3n-1-2n,数列{an}的前n项和为=,数列{bn}的前n项和为=2n+1-2.所以,数列{cn}的前n项和为-2n+1+2,n∈N*.
