每日一题规范练(第五周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－.(1)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．解：(1)f(x)＝sin2x－－＝sin(2x－)－1.当2x－＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)min＝－2.此时自变量x的集合为.(2)由f(C)＝0，得sin＝1，又C∈(0，π)，所以2C－＝⇒C＝.在△ABC中，sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a.①又c＝，由余弦定理得，()2＝a2＋b2－2abcos，所以a2＋b2－ab＝3.②联立①②得a＝1，b＝2.[题目2](本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＞0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝loga2n－1，数列的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)因为S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项，所以2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5，所以S6＋a6－S4－a4＝S5＋a5－S6－a6，化简得4a6＝a4，设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，因为an＞0(n∈N*)，所以q＞0，所以q＝，所以an＝2×＝.(2)由(1)得，bn＝loga2n－1＝log＝2n－3，设Cn＝＝＝－，所以Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝(－)＋(－)＋＋…＋(－)＝－1－＝－.[题目3](本小题满分12分)某部门为了了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布和数学期望．解：(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A，则P(A)＝＋＝＝.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3，易知X～B，P(X＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝3×＝1.[题目4](本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°.(1)证明：AD⊥BA1；(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值．(1)证明：取AD中点O，连接OB，OA1，BD，如图1.图1因为AA1＝A1D，所以AD⊥OA1.又∠ABC＝120°，AD＝AB，所以△ABD是等边三角形，所以AD⊥OB，所以AD⊥平面A1OB，因为A1B⊂平面A1OB，所以AD⊥A1B.(2)解：因为平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，又A1O⊥AD，所以A1O⊥平面ABCD，所以OA、OA1、OB两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB＝AD＝A1D＝2，则A(1，0，0)，A1(0，0，)，B(0，，0)，D(－1，0，0)．则DA1＝(1，0，)，DC＝AB＝(－1，，0)，BA1＝(0，－，)．设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝，则y＝1，z＝－1，所以n＝(，1，－1)．设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BA1〉|＝＝＝.[题目5](本小题满分12分)设f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＞x2，都有m[g(x1)－g(x2)]＞x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x＜0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，所以g(x)在x＝－1处的切线方程是y＋＝1×(x＋1)，即x－y＋＝0.(2)由题意知，F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2(x＞0)，F′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，则t′(x)＝－1，令t′(x)＞0，解得0＜x＜1，令t′(x)＜0，解得x＞1，故F′(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故F′(x)≤F′(1)＝0，故F(x)在(0，＋∞)上递减．(3)已知可转化为x1＞x2≥1时，mg(x1)－x1f(x1)＞mg(x2)－x2f(x2)恒成立，令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xlnx，则h(x)在(...
