平面向量与立体几何VIP免费

第1页共11页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共11页平面向量1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量.（向量可以平移）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。4.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作.5.平面向量的数量积：（1）向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量的夹角，当θ＝0时，同向，当θ＝π时，反向，当θ＝π2时，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为θ，我们把数量叫做的数量积（或内积或点积），记作：，即¿＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影的数量为，它是一个实数，但不一定大于0。（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，⃗b，其夹角为θ，则：①；第2页共11页第1页共11页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共11页②当⃗a，⃗b同向时，¿＝，特别地，；当与反向时，¿＝－；当θ为锐角时，¿＞0，且不同向，¿>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，¿＜0，且不反向，¿＜0是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量夹角θ的计算公式：；④。6.向量的运算：（1）几何运算：向量加减法：利用“平行四边形法则”“三角形法则”进行，特别要注意：若为中点，则；（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。②实数与向量的积：。③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。④平面向量数量积：。⑤向量的模：。⑥两点间的距离：若，则。7.向量的运算律：（1）交换律：，，；（2）结合律：，；（3）分配律：，。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8.向量平行(共线)的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是存在实数使得；9.向量垂直的充要条件：。10.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），等号当且仅当同向或反向或有时才有可能成立（3）在中，①若，则其重心的坐标为。②为的重心，特别地第3页共11页第2页共11页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共11页为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.立体几何（文科只关注平行、垂直即可）1.平面的基本性质：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平...