第2课时椭圆方程及性质的应用双基达标限时20分钟1．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()．A．±B．±C．±D．±解析由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，∴M的坐标(0，±)，故选A.答案A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()．A.B.C.D.解析由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，∴a＝＝，∴e＝＝＝.答案D3．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝()．A．2B．4C．4D．8解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.答案D4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．解析由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案(1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．解析由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝＝＝＝＝.答案6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．解设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2)(－)2＝.化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为()．A.B．－C.D．－解析设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y12＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.答案D8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝()．A.B．2C.D．3解析设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．∴由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×()2＋(n)2＝1.解得n2＝1，∴|AF|＝＝＝.所以选A.答案A9．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案810．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．解析直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，得T(，)，则M(，)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.答案2－511．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．解设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC中点M(x，y)，则＋＝1，①＋＝1.②②－①，得(－)＋(－)＝0.∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，又 ③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.∴2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.12．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的...
