3.1.3空间向量的数量积运算双基达标限时20分钟1.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中的真命题是().A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析对于A,可举反例:当a⊥b时,a·b=0;对于C,a2=b2,只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b;对于D,a·b=a·c可以移项整理推得a⊥(b-c).答案B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是().A.2BA·ACB.2AD·DBC.2FG·ACD.2EF·CB解析2BA·AC=-a2,故A错;2AD·DB=-a2,故B错;2EF·CB=-a2,故D错,只有C正确.答案C3.空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈OA,BC〉的值为().A.B.C.-D.0解析因为OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA||OC|cos〈OA,OC〉-|OA||OB|cos〈OA,OB〉,又因为〈OA,OC〉=〈OA,OB〉=,|OB|=|OC|,所以OA·BC=0,所以OA⊥BC,所以cos〈OA,BC〉=0.答案D4.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.解析将|a-b|=化为(a-b)2=7,求得a·b=,再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉求得cos〈a,b〉=.答案5.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.解析∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13.答案-136.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:(1)BC·ED1;(2)BF·AB1解如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)BC·ED1=BC·(EA1+A1D1)=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.(2)BF·AB1=(BA1+A1F)·(AB+AA1)=(c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.综合提高(限时25分钟)7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为().A.B.2C.D.解析:∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,∴|AC1|=.答案:D8.已知a,b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是().A.30°B.45°C.60°D.90°解析∵AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+|CD|2+DB·CD=|CD|2=1,∴cos〈AB,CD〉==,∴a与b的夹角为60°.答案C9.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.解析由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,∴18+(λ+1)×3×4cos135°+16λ=0,即4λ+6=0,∴λ=-.答案-10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.解析不妨设棱长为2,则AB1=BB1-BA,BM=BC+BB1,cos〈AB1,BM〉===0,故填90°.答案90°11.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求证:BD⊥平面ADC.证明不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.BD·AC=(AD-AB)·AC=AD·AC-AB·AC,由于AD·AC=AD·(AD+DC)=AD·AD=1,AB·AC=|AB|·|AC|cos60°=××=1.∴BD·AC=0,即BD⊥AC,又已知BD⊥AD,AD∩AC=A,∴BD⊥平面ADC.12.(创新拓展)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.∵BB1⊥平面ABC,∴BB1·AB=0,BB1·BC=0.又△ABC为正三角形,∴〈AB·BC〉=π-〈BA·BC〉=π-=.∵AB1·BC1=(AB+BB1)·(BB1+BC)=AB·BB1+AB·BC+BB12+BB1·BC=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB12=-1+1=0,∴AB1⊥BC1.(2)解结合(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB12=BB12-1.又|AB1|=)2==|BC1|.∴cos〈AB1,BC1〉==,∴|BB1|=2,即侧棱长为2.