3.1.3空间向量的数量积运算双基达标限时20分钟1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．答案B2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()．A．2BA·ACB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB解析2BA·AC＝－a2，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；2EF·CB＝－a2，故D错，只有C正确．答案C3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()．A.B.C．－D．0解析因为OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos〈OA，OC〉－|OA||OB|cos〈OA，OB〉，又因为〈OA，OC〉＝〈OA，OB〉＝，|OB|＝|OC|，所以OA·BC＝0，所以OA⊥BC，所以cos〈OA，BC〉＝0.答案D4．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________．解析将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.答案5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案－136．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1解如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC·ED1＝BC·(EA1＋A1D1)＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋AA1)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.综合提高（限时25分钟）7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为()．A.B．2C.D.解析：∵AC1＝AB＋AD＋AA1∴AC12＝(AB＋AD＋AA1)2＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|AC1|＝.答案：D8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析∵AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，∴cos〈AB，CD〉＝＝，∴a与b的夹角为60°.答案C9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.答案－10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．解析不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故填90°.答案90°11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.证明不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.BD·AC＝(AD－AB)·AC＝AD·AC－AB·AC，由于AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝AD·AD＝1，AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝××＝1.∴BD·AC＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．(1)证明AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.∵BB1⊥平面ABC，∴BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.又△ABC为正三角形，∴〈AB·BC〉＝π－〈BA·BC〉＝π－＝.∵AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)解结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝BB12－1.又|AB1|＝)2＝＝|BC1|.∴cos〈AB1，BC1〉＝＝，∴|BB1|＝2，即侧棱长为2.
