3.1.5空间向量运算的坐标表示双基达标限时20分钟1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是()．A．(1，1，1)B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5)D．(－4，6，－2)解析若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.答案D2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()．A．0B．6C．－6D．±6解析∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.答案B3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝()．A．2B．－2C．－2或D．2或－解析因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，所以＝6－λ，解得λ＝－2或.答案C4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．解析因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.答案75．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是______．解析设点P(x，y，z)，则由AP＝2PB，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3)，则|PD|＝＝＝2.答案26．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求(1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c.解(1)∵b＋c＝(1，0，5)，∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21.(2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)＝(3，－8，17)．综合提高（限时25分钟）7．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是()．A．[0，5]B．[1，5]C．(1，5)D．(0，5)解析|AB|＝＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.答案B8．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于()．A．(，，－3)B．(，，－3)C．(－，－，－3)D．(，－，－3)解析因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4.因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－，于是BP＝(，－，－3)．答案D9．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．解析因为AB＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则AB∥AC，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案010．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．解析∵AB＝(－2，－1，3)，CA＝(－1，3，－2)，∴cos〈AB，CA〉＝＝＝＝－，又0°≤〈AB，CA〉≤180°，∴θ＝〈AB，CA〉＝120°.答案120°11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中AB边上的高．解(1)由已知得AB＝(1，－3，2)，AC＝(2，0，－8)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝2，AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos〈AB，AC〉＝＝＝，sin〈AB，AC〉＝＝.∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝××2×＝3.(2)设AB边上的高为CD，则|CD|＝＝3.12．(创新拓展)在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E(1，1，)、F(1，，0)，G(，1，0)、H(，，1)．(1)则AB1＝(1，0，1)，GE＝(，0，)，EH＝(－，－，)∵AB1＝2GE，AB1·EH＝1×(－)＋1×＝0，∴AB1∥GE，AB1⊥EH.即AB1∥GE，AB1⊥EH.(2)∵A1G＝(，1，－1)，DF＝(1，－，0)，DE＝(1，0，)，∴A1G·DF＝－＋0＝0，A1G·DE＝＋0－＝0，∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
