专项小测(十三)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若cos2B－sin2A－sinAsinB＝cos2C，(1)求角C的大小；(2)若A＝，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.思路分析：(1)由sin2α＋cos2α＝1，可将cos2B，cos2C转化为1－sin2B,1－sin2C，代入原式，根据正弦定理可得c2－b2＝a2＋ab，结合余弦定理，及0＜C＜π，可得角C的大小；(2)因为A＝，所以B＝，所以△ABC为等腰三角形，根据面积为，可得a＝b＝2，在△MAC中，AC＝2，CM＝1，C＝，结合余弦定理，即可求解．解：(1)由cos2B－sin2A－sinAsinB＝cos2C，得sin2A＋sinAsinB＝sin2C－sin2B.(2分)由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，(4分)所以cosC＝＝＝－.又0＜C＜π，所以C＝.(6分)(2)因为A＝，所以B＝，所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝.(8分)因为S△ABC＝absinC＝ab＝，所以a＝b＝2.(10分)在△MAC中，AC＝2，CM＝1，C＝，所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CM·cosC＝4＋1＋2×2×1×＝7，解得AM＝.(12分)18．(12分)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝，M，N分别为棱AP，CD的中点．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)若PD⊥平面ABCD，PB＝2AB，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．思路分析：(1)设PB的中点为G，连接MG，GC，先证明MN∥GC，即证MN∥平面PBC；(2)连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接OG.分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.再利用向量方法求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.解：(1)证明：设PB的中点为G，连接MG，GC. M，G分别是AP，PB的中点，∴MG∥AB，且MG＝AB.(2分)由已知得CN＝AB，且CN∥AB，∴MG∥CN，且MG＝CN，∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN∥GC.(4分) MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN∥平面PBC.(6分)(2)连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接OG.设菱形ABCD的边长为a，由题设得PB＝2a，PD＝a，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设得P，A，D，B，C，∴PB＝(0，a，－a)，CB＝.(8分)设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则化简得令x＝1，则y＝－，z＝－1，∴n＝(1，－，－1)．同理可求得平面PAD的一个法向量m＝(1，－，0)．(10分)∴|cos〈m，n〉|＝＝，∴sin〈m，n〉＝，∴平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.(12分)19．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点．(1)若p＝2，M的坐标为(1,1)，求直线l的方程；(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．思路分析：(1)判断直线l的斜率存在且不为0，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线的标准方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式计算直线的方程；(2)先利用中点坐标公式计算点M的坐标，再计算点N的坐标，由两点间的距离公式计算|MN|，|FN|，并计算的值．解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)，即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－4ty－4＋4t＝0，(2分)∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)>0，y1＋y2＝4t，(3分)∴4t＝2，即t＝.(4分)∴直线l的方程为2x－y－1＝0.(5分)(2)为定值2p，证明如下． 抛物线C：y2＝2px(p>0)，∴焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－2pty－p2＝0，∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2>0.(7分)∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，∴M.(8分)∴MN的方程为y－pt＝－t.(9分)令y＝0，解得x＝pt2＋，N，(10分)∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，(11分)∴＝＝2p.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为...
