第2节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判断或证明函数的单调性2,6求函数的单调区间1,4,7已知函数的单调性求参数的取值范围3,8,11,12利用导数研究函数单调性的综合问题5,9,10,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞)(D)(-3,1)解析:y′=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y′>0x⇒2+2x-3<0-3
f(b)(D)f(a),f(b)大小关系不能确定解析:因为f′(x)=-=,当x<1时有f′(x)<0,故f(x)在x<1时为减函数,从而有f(a)>f(b).3.(2016兰州一中期中)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(A)(A)(1,2](B)[4,+∞)(C)(-∞,2](D)(0,3]解析:f′(x)=x-,当f′(x)=x-≤0时,00,即函数f(x)为增函数;当0x1时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数,观察选项易知C正确.5.(2016江西省临川区一中高三上期中)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是(C)(A)[0,+∞)(B)(-∞,0](C)(-∞,0)(D)(0,+∞)解析:由题意知x>0,f′(x)=1+,要使函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则需方程1+=0在x>0上有解,即x=-a,所以a<0,故选C.6.(2016福建省“四地六校”联考)已知函数f(x)=x2+lnx-ax在(0,1)上是增函数,则实数a的最大值是.解析:由题意知在(0,1)上f′(x)=2x+-a≥0,所以a≤2x+,因为2x+≥2,所以a≤2,故a的最大值为2.答案:27.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.解析:由f(x)=x3-15x2-33x+6得f′(x)=3x2-30x-33,令f′(x)<0,即3(x-11)(x+1)<0,解得-10).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是.解析:f′(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,又a>0,所以00),则h′(x)=--<0,即h(x)在(0,+∞)上是减函数.由h(1)=0知,当00,从而f′(x)>0;当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).能力提升练(时间:15分钟)10.(2015青岛质检)已知f(x)=x3-6x2+9x+2,f′(x)是f(x)的导数,f(x)和f′(x)单调性相同的区间是(B)(A)[3,+∞)(B)[1,2]和[3,+∞)(C)(-∞,2](D)[2,+∞)解析:f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),在区间(-∞,1)与(3,+∞)上,f′(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1]与[3,+∞),在区间(1,3)上,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为[1,3].函数f′(x)的单调递增区间为[2,+∞),单调递减区间为(-∞,2],所以f(x)和f′(x)在区间[1,2]上均为减函数,在区间[3,+∞)上均为增函数,故选B.11.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为.解析:f(x)=ex+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=ex+x-t,函数f(x)在(-1,1)上存在增区间,故ex+x>t,x∈(-1,1)时有解,故e+1>t.答案:(-∞,e+1)12.已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.解析:由题意知f′(x)=-x+4-==-,由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1
