第3节定积分的概念及简单应用【选题明细表】知识点、方法题号求定积分1,2,7定积分求面积4,6,10,15定积分的物理应用3,5,8由定积分求参数9,13,16综合应用11,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.(ex+2x)dx等于(C)(A)1(B)e-1(C)e(D)e+1解析:(ex+2x)dx=(ex+x2)|=(e1+12)-(e0+02)=e.故选C.2.设函数f(x)=则定积分f(x)dx等于(C)(A)(B)2(C)(D)解析:f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=.故选C.3.如果1N的力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为(A)(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J解析:由物理知识F=kx知,1=0.01k,所以k=100N/m,则W=100xdx=50x2|=0.18(J).故选A.4.曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为(C)(A)(sinx-cosx)dx(B)2(sinx-cosx)dx(C)2(cosx-sinx)dx(D)(cosx-sinx)dx解析:当x∈[0,]时,cosx≥sinx,当x∈(,]时,sinx>cosx.故所求平面区域的面积为(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx,数形结合知(cosx-sinx)dx=(sinx-cosx)dx.故选C.5.一质点运动时速度与时间的关系式为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为v(t)>0,所以质点在[1,2]内的位移s即为v(t)在[1,2]上的定积分,所以s=v(t)dt=(t2-t+2)dt=|=.故选A.6.如图,由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积等于(B)(A)e2-2e-1(B)e2-2e(C)(D)e2-2e+1解析:由已知得S=f(x)dx=(ex-e)dx=(ex-ex)=(e2-2e)-(e-e)=e2-2e.故选B.7.(+)2dx=.解析:(+)2dx=(x++2)dx=(x2+lnx+2x)=+ln.答案:+ln8.如图,是一个质点做直线运动的vt图象,则质点在前6s内的位移为m.解析:由题图易知v(t)=所以s=v(t)dt=tdt+(9-t)dt=t2|+(9t-t2)|=6+3=9.答案:99.(2016合肥模拟)设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足f′(x)dx=0的实数a=.解析:f′(x)dx=f(a)=0,得a=0或1或-1,又由积分性质知a>0,故a=1.答案:110.曲线y=+2x+2e2x,直线x=1,x=e和x轴所围成的区域的面积是.解析:由题意,得所求面积为(+2x+2e2x)dx=dx+2xdx+2e2xdx=lnx|+x2|+e2x|=(1-0)+(e2-1)+(e2e-e2)=e2e.答案:e2e能力提升练(时间:15分钟)11.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)dx=(x2-x)dx=(x3-x2)=.故选A.12.(2014高考湖北卷)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:对于①,sinxcosxdx=sinxdx=0,所以①是区间[-1,1]上的正交函数;对于②,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx≠0,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;对于③,x·x2dx=x3dx=0,所以③是区间[-1,1]上的正交函数.故选C.13.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于(B)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:(2x-1)dx=2xdx-1dx=x2|-x|=t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).故选B.14.(2016吉林省实验中学高三第一次适应性测试)已知数列{an}为等差数列,且a2013+a2015=dx,则a2014(a2012+2a2014+a2016)的值为.解析:因为dx=π,所以a2013+a2015=π,所以a2014=,所以a2014(a2012+2a2014+a2016)=×2π=π2.答案:π215.在同一坐标系中作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图象如图所示,曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.解析:所求区域面积为S=(3-)dx+(3-x)dx=4-ln3.答案:4-ln316.已知曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为,则k=.解析:由得或则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为(kx-x2)dx=(x2-x3)=-k3=,即k3=8,所以k=2.答案:2精彩5分钟1.如图,曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为(D)(A)(B)(C)(D)解题关键:先将图形分割,再利用定积分的几何意义求面积.解析:由x2=得x=或x=-(舍去),则阴影部分的面积为S=(-x2)dx+(x2-)dx=(x-x3)|+(x3-x)|=.故选D.2.由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积为.解题关键:利用数形结合思想求解.解析:由题意作出草图如图所示.解方程组得交点A(2,4),故所求面积为dx+(6-x)dx=|+|=.答案:3.函数y=(sint+costsint)dt的最大值是.解题关键:利用配方法求解.解析:y=(sint+costsint)dt=(sint+sin2t)dt=(-cost-cos2t)=-cosx-cos2x+=-cosx-(2cos2x-1)+=-cos2x-cosx+=-(cosx+1)2+2≤2,当cosx=-1时取等号.答案:2
