第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号比较法证明不等式1综合法证明不等式3分析法证明不等式2分析综合法证明不等式41.设a>b>0,求证:>.证明:法一-===,因为a>b>0,所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.所以->0,所以>.法二因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0.所以=·===1+>1.所以>.2.设x≥1,y≥1,求证x+y+≤++xy.证明:由于x≥1,y≥1,要证x+y+≤++xy,只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由条件x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0
0,b>0,c>0,求证:++≥.证明:要证++≥,只需证+1++1++1≥,只需证++≥,只需证(a+b+c)(++)≥.因为(a+b+c)(++)=[(b+c)+(a+c)+(a+b)]·(++)≥×3×3×=,当且仅当a=b=c时“=”成立,故原不等式成立.
