第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共10页讲授内容备注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15证明：当时，证已知，（，只有时，等号成立）在此式两端同时取上的积分，得再次取上的积分，得第三次取上的积分，得所以上式再在上的积分，得即再在上的积分，得例16设是上连续的凸函数．试证：，有3学时几何解释：第2页共10页第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共10页证令，则同理，令，则从而注意到与关于中点对称，又为凸函数，所以另一方面，由（1）式及的凸性例17设函数在上递增．试证：函数为凸函数．证在上递增，第3页共10页第2页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共10页所以，为凸函数．例18设，在上连续，且，在上有定义，并且有二阶导数，试证：证**Expressionisfaulty**（利用积分和）将区间等分，记，为凸函数．由詹禁定理，取，即令，得第4页共10页第3页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共10页证**Expressionisfaulty**（利用公式）记则注意，在上式中，令，然后两边乘以，得在上取积分即其中第5页共10页第4页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共10页§4
5不等式一、不等式及不等式1．不等式设为任意实数，则（不等式）其中等号当且仅当与成比例时成立．证**Expressionisfaulty**（判别式法）上式是关于的二次三项式，保持非负，故判别式证**Expressionisfaulty**（配方法）因此，不等式成立．方法**Expressionisfaulty**可推广．第6页共10页第5页共10页编号：
