第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共10页讲授内容备注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15证明：当时，证已知，（，只有时，等号成立）在此式两端同时取上的积分，得再次取上的积分，得第三次取上的积分，得所以上式再在上的积分，得即再在上的积分，得例16设是上连续的凸函数．试证：，有3学时几何解释：第2页共10页第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共10页证令，则同理，令，则从而注意到与关于中点对称，又为凸函数，所以另一方面，由（1）式及的凸性例17设函数在上递增．试证：函数为凸函数．证在上递增，第3页共10页第2页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共10页所以，为凸函数．例18设，在上连续，且，在上有定义，并且有二阶导数，试证：证**Expressionisfaulty**（利用积分和）将区间等分，记，为凸函数．由詹禁定理，取，即令，得第4页共10页第3页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共10页证**Expressionisfaulty**（利用公式）记则注意，在上式中，令，然后两边乘以，得在上取积分即其中第5页共10页第4页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共10页§4.5不等式一、不等式及不等式1．不等式设为任意实数，则（不等式）其中等号当且仅当与成比例时成立．证**Expressionisfaulty**（判别式法）上式是关于的二次三项式，保持非负，故判别式证**Expressionisfaulty**（配方法）因此，不等式成立．方法**Expressionisfaulty**可推广．第6页共10页第5页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共10页等号成立当且仅当，．证**Expressionisfaulty**（利用二次型）即关于的二次型，非负定，因此即2．不等式设在上可积，则若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立．（不同时为零）3．不等式的应用例1已知，在上连续，为任意实数．求证：证第一项应用不等式：不等式的积分形式称为不等式第7页共10页第6页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第7页共10页同理（1）+（2）：例2设在上有连续的导数，试证：证令则由，知因此，例3设在上有连续的阶导数，且．求证：其中证先证明的情况．此时第二项积分第8页共10页第7页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第8页共10页设在上有连续的导数，下证令由不等式：两端同时积分两边同时开方：对一般情况，令例4设，在上连续，不恒为零，有值大于零．第9页共10页第8页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第9页共10页正的下界．记试证：证只需证明存在．先证单调增即再证有界．因为在上连续，所以使得故既然单调有界，存在极限．二、平均值不等式第10页共10页第9页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第10页共10页基本形式：对任意个实数，恒有（即几何平均值算术平均值）其中等号成立当且仅当例5设正值函数在上连续．试证：证由条件知在上可积，将等分，作积分和
