专题29：异面直线所成的角-教师版VIP免费

典型高考数学试题解读与变式2018版考点29：异面直线所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）空间直线与直线夹角的问题例1.【2017全国3卷（理）】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；③直线AB与a所称角的最小值为45；④直线AB与a所称角的最小值为60；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故1AC，2AB，边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量(0,1,0)a，1a．B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b，1b．设B点在运动过程中的坐标cos,sin,0B，其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，2AB．当AB与a夹角为60时，即π3，12sin2cos2cos2322．因为22cossin1，所以2cos2．所以21coscos22．因为π0,2．所以π=3，此时AB与b夹角为60．所以②正确，①错误．故填②③.【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______.【答案】66【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线AC与BD'所成的角为．O是AC的中点.由已知得6AC，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则6(0,,0)2A，30(,0,0)2B，6(0,,0)2C.作DHAC于H，连接D′H翻折过程中，D'H始终与AC垂直，则21666CDCHCA，则63OH，153066DH，因此30630(cos,,sin)636D'（设∠DHD′=α），则3030630(cos,,sin)6236BD'，与CAuur平行的单位向量为(0,1,0)n，HD'DCBAzyxO所以coscos,BD'nBD'BD'nn＝6395cos，所以cos1时，cos取得最大值，为66．【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱1111ABCDABCD中，1AA平面1111ABCD，底面1111ABCD是边长为a的正方形，侧棱1AA的长为b，E为侧棱1BB上的动点（包括端点），则（）A．对任意的a，b，存在点E，使得11ECDBB．当且仅当ab时，存在点E，使得11ECDBC．当且仅当ba时，存在点E，使得11ECDBD．当且仅当ba时，存在点E，使得11ECDB【答案】C（二）异面直线的夹角例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱111ABCABC中，120ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）.A．32B．155C．105D．33【答案】C【解析】M，N，P分别为AB，1BB，11BC中点，则1AB，1BC夹角为MN和NP夹角或其补角（异面线所成角为π02，），可知11522MNAB，11222NPBC，作BC中点Q，则可知PQM△为直角三角形．1PQ，12MQACABC△中，2222cosACABBCABBCABC14122172，7AC则72MQ，则MQP△中，22112MPMQPQ，则PMN△中，222cos2MNNPPMPNMMHNP222521122210552222.又异面线所成角为π02，，则余弦值为105．故选C.【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥PABCD中，2,,PAABEF分别是,PBPC的中点...