测试题二一、（15分）（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；（2）证明：T=是X上的一个拓扑.二、（15分）(1)叙述完备格的定义；（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设，，求分别在数直线T)及可数补空间T)中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设T),W)是两个拓扑空间，,,(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是TW连续的当且仅当W,T六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：(a)T,T;(b)TT,T;(c)ATAT.（2）证明：因是可数集，故T,，则是可数集，从而=是可数集,即T;AT,A,是可数集，于是是可数集，从而A=是可数集，即AT.，因此T=是X上的一个拓扑.（3）可数补拓扑是的不是.由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间.对，则且，因此它是空间.二、（15分）(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线T)中，;可数补空间中，.四、（15分）（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.五、（10分）（1）,则称在点TW连续的.（2）证明（必要性）W,设.则，由条件，存在.于是T.（充分性）,则T,从而，且,故是TW连续的.六、（10分）(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在，则是X中开集组成的F的开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.由的任意性知F是闭集.七、（15分）（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：（a）（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则BB是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有，这样,B是X的可数基.八、（10分）证明：设，，则同理设则＝＝.测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足公理二、（20分）设是一个度量空间。证明下述两个结论等价：1）是可分得。2）的拓扑有一个可数拓扑基。三、（20分）证明：任一紧度量空间是可分的。四、（每题18分，共计36分）a)如果和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都是道路连通的.b)若的每个紧致子集都是闭集，则中的序列的极限是惟一的.答案一、是非1、√2、√3、ⅹ4、√5、√6、√7、√8、ⅹ二、证明：1）2).由于是可分的，故有一个可数的稠密集合。证明是的一个可数拓扑基。事实上，由于是可数集，映射显然是单全射。故是可数集。现设是任一开集。于是使得。现在设使得。由于在中稠密，故存在使得。从而设。那么此即表明，从而，并且。于是是的元素的并。故是的一个可数的拓扑基。2）1）设是的一个可数拓扑基。，任取。那么是可数基。为了证明此可数集在中稠密，只需证明对的任一开集，。这是显然的。因为是拓扑基，故至少存在使得。于是。因此是的一个可数稠密集，即是可分的。三、证明：，故。的紧性表明存在有限个使得。令，。则是的一可数集。下面证明在中稠密，也即。为此设。于是存在使得。从而存在使得。于是。此即表明，因此。四.a)如果，和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都道路连通.证明下证是道路连通的.，因道路连通，故有中的道路使，易见设...
