43笔记区全等母子型结构和辅助线添加初步模块一K字型全等如图，BDAD，ABAC，AECE，且ABAC，则有ABDCAE△△≌．模块二母子型1．等边三角形2．正方形（等腰直角三角形）（15—16年成华期末）在ABC△中，90ACB，ACBC，直线l经过点C，且ADl于点D，BEl于点E．（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：①ACDCBE△≌△，②ADBEDE；（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：BEDEAD；（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等量关系．图1-1图1-2图1-3模块一K字型全等例题1CBDAECBDAECBAEDBCAEDCBEDACGFDBAEGDBCAEFDBCGFEAlADBECABlCDEABlDCE笔记区【解析】（1）① ADl，BEl，∴90ADCEB．∴90BCECBE． 90ACB，∴90ACDBCE．∴ACDCBE． ACCB，∴ACDCBE△△≌．② ACDCBE△△≌，∴ADCE，CDBE． DECDCE，∴ADBEDE．（2） ADMN，BEMN，∴90ADCCEB．∴90BCECBE． 90ACB，∴90ACDBCE．∴ACDCBE． ACCB，∴ACDCBE△△≌．∴ADCE，CDBE． DECECD，∴BEDEAD．（3）ADDEBE．【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程．（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于F，过F作FHAE交BC于H，连接AH．（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，求证：AFFH；（2）过点H作HGBD，垂足为G，试求FG和BD的数量关系．【解析】（1）证明ASAAFMHFN（）△△≌，∴AFFH．（2）作ATBD于点T，则AFTHFG≌△△，∴12FGATBTDTBD．（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，EG与HA的延长线交于点M，求证：AM是AEG△的中线．例题2例题3MNHGFEDCBADEMGFABHCDEMGFNBHCPQA45笔记区【解析】过点E作EPHA的延长线于P，过点G作GQAM于Q，AHBC，90ABHBAH，90BAE，90EAPBAHABHEAP，在ABH△和EAP△中，90ABHEAPAHBPABAE，(AAS)ABHEAP≌△△，EPAH，同理可得GQAH，EPGQ，在EPM△和GQM△中，90PMQGEMPGMQEPGQ，(AAS)EPMGQM≌△△，EMGM，AM是AEG△的中线．【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型．如图，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA．（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图4-1，若90BCA，90，则BE_____CF；EF_____||BEAF（填“＞”、“＜”、“=”）；②如图4-2，若0180BCA，请添加一个关于与BCA关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图4-3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图4-1图4-2图4-3【解析】（1）①=；=；②180BCA，先证明BACF，再证明BCECAF△△≌．（2）EFBEAF．【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题．图②图③ABCDEFABCDEF例题4BEFDCADAFCEB笔记区如图，点C为线段AB上一点，ACM△、CBN△是等边三角形．请你证明：（1）ANMB；（2）60MFA；（3）AFCBFC；（4）DEC△为等边三角形；（5）//DEAB．【解析】（1）ACM△、CBN△是等边三角形，MCAC，CNCB，又ACNMCB，ACNMCB△≌△，ANBM．（2）由（1）得ACNMCB△≌△，=CANCMB∠∠，60MFAMCA．（3）过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可．（4）由ACNMCB△≌△易推得NDCBEC△≌△，所以CDCE，又60MCN，进而可得DEC△为等边三角形．（5）由（4）得，DEC△为等边三角形，60DECECB，//DEAB．【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型．（14—15年成外）已知，在ADE△中，AEAD，90EAD．（1）如图6-1，若EC，DB分别平分AED、ADE，交AD，AE于点C、B，连接BC．请判断AB、AC是否相等，并说明理由；（2）ADE△的位置保持不变，将（1）中的ABC△绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于O，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若6CD，试求四边形CEDB的面积．图6-1图6-2【解析】（1）ABAC，在ABD△和ACE△中9022.5CAEBADADAEAECADB模块二母子型例题5例题6ANMDCBEFABCDECEABOD47笔记区∴ABDACE△≌△(ASA)，∴ABAC．（2）BECD，且BECD．母子型，得到CADBAE△≌△，通过...
