第一章绪论1．设0x,x的相对误差为，求lnx的误差。解：近似值*x的相对误差为*****rexxexx=而lnx的误差为1ln*ln*ln**exxxex进而有(ln*)x2．设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。解：设()nfxx，则函数的条件数为'()||()pxfxCfx又1'()nfxnxQ,1||npxnxCnn又((*))(*)rprxnCxQ且(*)rex为2((*))0.02nrxn3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*11.1021x,*20.031x,*3385.6x,*456.430x,*571.0.x解：*11.1021x是五位有效数字；*20.031x是二位有效数字；*3385.6x是四位有效数字；*456.430x是五位有效数字；*571.0.x是二位有效数字。4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1)***124xxx,(2)***123xxx,(3)**24/xx.其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数。解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102xxxxx***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510xxxxxx***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215xxxxxxxxxxxx**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010xxxxxxx5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343VR则何种函数的条件数为23'4343pRVRRCVRgg(*)(*)3(*)rprrVCRRg又(*)1rVQ故度量半径R时允许的相对误差限为1(*)10.333rR6．设028Y，按递推公式11783100nnYY（n=1,2,⋯）计算到100Y。若取78327.982（5位有效数字），试问计算100Y将有多大误差解：11783100nnYYQ100991783100YY99981783100YY98971783100YY⋯⋯101783100YY依次代入后，有10001100783100YY即1000783YY，若取78327.982,100027.982YY*310001()()(27.982)102YY100Y的误差限为31102。7．求方程25610xx的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。解：25610xx，故方程的根应为1,228783x故1287832827.98255.982x1x具有5位有效数字2111287830.0178632827.98255.98228783x2x具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求1211NNdxx解121arctan(1)arctan1NNdxNNx设arctan(1),arctanNN。则tan1,tan.NN12211arctan(tan())tantanarctan1tantan1arctan1(1)1arctan1NNdxxNNNNNNg9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm解：正方形的面积函数为2()Axx(*)2*(*)AAxg.当*100x时，若(*)1A,则21(*)102x故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过21cm10．设212Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：21,02SgttQ2(*)(*)Sgttg当*t增加时，*S的绝对误差增加2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2rSSSgttgtttg当*t增加时，(*)t保持不变，则*S的相对误差减少。11．序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,⋯),若021.41y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大这个计算过程稳定吗解：021.41yQ201(*)102y又1101nnyyQ10101yy10(*)10(*)yy又21101yyQ21(*)10(*)yy220(*)10(*)......yy101001028(*)10(*)1101021102yy计算到10y时误差为81102，这个计算过程不稳定。12．计算6(21)f，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好61(21),3(322),31(322)，99702。解：设6(1)yx，若2x，*1.4x，则*11102x。若通过61(21)计算y值，则***7***7**1(1)6(1)yxxyxxyxg若通过3(322)计算y值，则**2******(32)632yxxyxxyxgg若通过31(322)计算y值，则***4***7**1(32)1(32)yxxyxxyxg通过31(322)计算后得到的结果最好。13．2()ln(1)fxxx,求(30)f的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大若改用另一等价公式。22ln(1)ln(1)xxxx计算，求对数时误差有多大解2()ln(1)fxxxQ,(30)ln(30899)f设899,(30)uyf则*u*412u故****310.0167yuuug若改用等价公式22ln(1)ln(1)xxxx则(30)ln(30899)f此时，****7159.9833yuuu第二章插值法1．当1,1,2x时，()0,3,4fx,求()fx的二次插值多项式。解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3xxxfxfxfxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxx则二次拉格朗日插值多项式为220()()kkkLxylx0223()4()14(1)(2...
