2.3垂径定理1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.自学指导阅读课本P58~59,完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,它也是中心对称图形,对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,即一条直线如果满足:①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点;②AB⊥CD交CD于E;那么可以推出:③CE=DE;④Combin=Combin;⑤Combin=Combin.自学反馈1.已知:⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,则AB的长为(D)A.B.4cmC.D.8cm2.如图,⊙O的半径为4,弦AB⊥OC于C,且OC=3,则AB的长等于.活动1小组讨论例1如图,弦AB=8cm,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,DE=2cm,求⊙O的直径CD的长.解:连接OA.设OA=rcm,则OE=r-2(cm).∵CD⊥AB,由垂径定理得AE==4(cm).在Rt△AEO中,由勾股定理得OA2=OE2+AE2.即r2=(r-2)2+42.解得r=5.∴CD=2r=10(cm).例2证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等已知:如图,在⊙O中,弦AB与弦CD平行.求证:弧AC=弧BD.证明:作直径EF⊥AB,∴弧AE=弧BE.又∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD.∴弧CE=弧DE.因此弧AE-弧CE=弧BE-弧DE,即弧AC=弧BD.活动2跟踪训练2.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为6,M是AB上的动点,则线段OM长的最小值为(C)A.2B.3C.4D.53.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为(B)A.5米B.8米C.7米D.5米5.如图,⊙O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,则AB=6cm.6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB),点O是这段弧的圆心,AB=120m,C是AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,CD=20m,则这段弯路的半径为100m.7.如图是某公园新建的圆形人工湖.为测量该湖的半径,小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩,使得A、B之间的距离与B、C之间的距离相等,并测得B到AC的距离为3米,AC的长为60米,请你帮他们求出人工湖的半径.解:设点O为圆心,连接半径OA、OB,设OB交AC于点D.则OB⊥AC,AD=CD=30米.设OA=x米,则有x2﹣(x﹣3)2=302,解得x=151.5(米).故人工湖的半径为151.5米.8.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AB=10,∠COD=60°,求:(1)弦CD的长;(2)∠COE的度数;(3)线段BE的长(结果用根号表示).解:(1)∵半径OC=OD,即△OCD为等腰三角形.又∵∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形.∴CD=OC=AB=5.(2)∵直径AB垂直于弦CD于E,∴CE=ED。又∵OC=OD,即OE为等腰△OCD的底边CD上的高,∴OE平分∠COD.∵∠COD=60°,∴∠COE=30°.(3)在Rt△OCE中,∵cos∠COE=,∴OE=OC•cos∠COE=5•cos30°=5•=.∴BE=OB﹣OE=5﹣.活动3课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.教师强调:①圆是轴对称图形,对称轴是过圆心的任一条直线;②垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中的限制;③垂径定理的计算及证明,常作弦心距为辅助线,用勾股定理列方程;④注意计算中的两种情况.