春九年级数学下册 2.3 垂径定理学案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级下册数学学案VIP免费

2.3垂径定理1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.自学指导阅读课本P58~59，完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE=DE；④Combin=Combin；⑤Combin=Combin.自学反馈1.已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则AB的长为（D）A．B．4cmC．D．8cm2.如图，⊙O的半径为4，弦AB⊥OC于C，且OC=3，则AB的长等于．活动1小组讨论例1如图，弦AB=8cm,CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm,求⊙O的直径CD的长.解：连接OA.设OA=rcm,则OE=r-2(cm).∵CD⊥AB，由垂径定理得AE==4(cm).在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=OE2+AE2.即r2=(r-2)2+42.解得r=5.∴CD=2r=10(cm).例2证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.求证：弧AC=弧BD.证明：作直径EF⊥AB，∴弧AE=弧BE.又∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴弧CE=弧DE.因此弧AE-弧CE=弧BE-弧DE，即弧AC=弧BD.活动2跟踪训练2.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（C）A．2B．3C．4D．53.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（B）A．5米B．8米C．7米D．5米5.如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=6cm．6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为100m．7.如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．解：设点O为圆心，连接半径OA、OB，设OB交AC于点D．则OB⊥AC，AD=CD=30米．设OA=x米，则有x2﹣(x﹣3)2=302，解得x=151．5(米)．故人工湖的半径为151．5米．8.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB=10，∠COD=60°，求：（1）弦CD的长；（2）∠COE的度数；（3）线段BE的长（结果用根号表示）．解：（1）∵半径OC=OD，即△OCD为等腰三角形.又∵∠COD=60°，∴△OCD为等边三角形.∴CD=OC=AB=5.（2）∵直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED。又∵OC=OD，即OE为等腰△OCD的底边CD上的高，∴OE平分∠COD.∵∠COD=60°，∴∠COE=30°.（3）在Rt△OCE中，∵cos∠COE=，∴OE=OC•cos∠COE=5•cos30°=5•=.∴BE=OB﹣OE=5﹣．活动3课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.