2.直角三角形的判定学前温故1．直角三角形有哪些性质？2．到目前为止，判定一个三角形是直角三角形，你有哪些方法？新课早知1．如果一个三角形的三边长a、b、c有关系：__________，那么这个三角形是直角三角形，这个结论就是“勾股定理的______”，其中____为斜边长．2．五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()．答案：学前温故1．①有一个角是直角；②两锐角互余；③两直角边的平方和等于斜边的平方．2．①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角的和是90°的三角形是直角三角形．新课早知1．a2＋b2＝c2逆定理c2．C选项A中，72＋202＝449≠242；选项B中，152＋202＝625≠242；选项C中，72＋242＝625＝252，152＋202＝625＝252；选项D中，152＋242＝801≠252,72＋202＝449≠252.所以只有选项C正确．1．怎样判定一个三角形是直角三角形【例1】已知△ABC的三边分别为2n、n2－1、n2＋1(n为正整数)，试判断△ABC的形状．分析：已知三边判断三角形的形状，通常考虑等腰或直角三角形，显然此处不是等腰三角形，可考虑直角三角形的判定方法．解：因为(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，(n2－1)2＝n4－2n2＋1，(2n)2＝4n2，所以(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1＝(n4－2n2＋1)＋(4n2)，即(n2＋1)2＝(n2－1)2＋(2n)2.所以△ABC是直角三角形．点拨：判定一个三角形是直角三角形的常用方法：(1)利用定义．如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．当题目中的条件与角有关时，常用这个方法．(2)利用勾股定理的逆定理．当已知三边的长或三边之间的关系时，常用此方法．在应用这个方法时，要注意找出哪条边是最长边，再就是验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方．2．有关直角三角形判定的综合应用【例2】如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝12，CD＝3，DA＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积．分析：要求四边形ABCD的面积，先把四边形ABCD分割成三角形，连结AC，△ADC是直角三角形，若△ACB也是直角三角形，问题就可解决．解：连结AC，因为∠ADC＝90°，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2，因此AC＝5.而AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°.S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝AD·CD＋AC·AB＝×4×3＋×5×12＝36.点拨：当题目中有直角三角形时，通常先运用勾股定理，求得相关线段的长度．1．小新和小明在玩猜数游戏，小新在手里写上三个数，然后告诉小明：我这手里的三个数是连续整数；小明说：三个连续的整数太多了，我猜不出来．小新说：我这三个数又恰好满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．那么这三个数是()．A．，，B．1,2,3C．2,3,4D．3,4,52．三角形的三边长分别为6、10、8，它的最短边上的高为()．A．8B．6C．4.5D．2.43．从长分别为5、9、12、13、15的五条线段中取出三条，能构成直角三角形的取法有__________种，分别为__________．4．若△ABC的三边长a、b、c满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则△ABC的形状为__________．5．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角，简述你的作法．答案：1．D2.A3．25、12、13和9、12、154．直角三角形(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2＝2ab，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．5．解：作法：①在射线PM上量取PA＝3cm，确定A点，在射线PN上量取PB＝4cm，确定B点．②连结AB，得△PAB.③用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰为5cm，则说明∠MPN是直角，否则∠MPN不是直角．理由：PA＝3cm，PB＝4cm，PA2＋PB2＝32＋42＝52.若AB＝5cm，则PA2＋PB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理，得△PAB是直角三角形，∠MPN是直角．
