河南省范县白衣阁乡二中八年级数学下册 数学活动（三）导学案 新人教版VIP专享VIP免费

数学活动（三）【导学目标】1.展示与研究勾股定理的证明方法.2.设计一个测量风筝高度的方案.【导学重点】进行两个活动.【导学难点】活动1.【学法指导】合作探究.【课前准备】搜集勾股定理的证明方法.【导学流程】一、呈现目标、明确任务研究一些勾股定理的证明方法和勾股定理的应用.二、教师引导活动一、证明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集来的方法展示给小组成员，并进行研究与交流.（见附.）活动二、小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮帮他们吗？四、点拨升华、当堂达标活动二，可以构造直角三角形，风筝的竖直高度、放风筝的点到风筝正下方之间的距离为直角边，风筝线为斜边.附：勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为，再做三个边长分别为、、的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是+，所以面积相等.即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以、为直角边，以为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF. ∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为的正方形.它的面积等于2. RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA. ∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又 ∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为+的正方形，它的面积等于.∴.∴.【证法3】（赵爽证明）以、为直角边（），以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴.∴.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 ∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.∴.∴.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED， ∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又 AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º. RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又 ∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º， BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º. ∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又 ∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD， ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM...