弹性力学平面问题教学课件CHAPTER01引言课程背景介绍弹性力学是研究物体在弹性范围内的应力、应变和位移关系的学科。弹性力学平面问题是经典弹性力学问题的一种，主要研究二维平面上应力和位移的变化。课程旨在帮助学生掌握弹性力学平面问题的基本理论和方法，为后续的学习和实践打下基础。弹性力学基本概念01020304弹性力学的基本概念包括应力和应变。应力是指物体内部单位面积上所承受的力，通常用符号“σ”表示。应变是指物体在受力作用下的变形量，通常用符号“ε”表示。应变与应力之间的关系可以通过材料的弹性常数来描述。平面问题的定义与分类平面问题是指只在二维平面上存在的弹性力学问题。平面问题可以分为两大类：无限平面问题和有限平面问题。无限平面问题是指物体边界无限扩展，有限平面问题是指物体的边界是有限的，受到边界条件的影响。只在内部存在受力的情况。CHAPTER02弹性力学基础理论应变与位移关系010203应变位移应变与位移的关系物体受力后，其形状和大小会发生变化，这种变化称为应变。物体受力后，其位置会发生移动，这种移动称为位移。物体的应变和位移是相互关联的，可以通过几何方程来描述。应力与外力关系应力外力应力与外力的关系物体内部单位面积上所受的力称为应力。作用在物体外部的力称为物体的应力与外力是相互关联的，可以通过物理方程来描述。外力。弹性力学基本方程几何方程描述物体的应变和位移之间的关系，可以求解物体的形状和大小变化。平衡方程描述物体在受力平衡时的状态，可以求解物体内部的应力分布。物理方程描述物体的应力与外力之间的关系，可以求解物体受到外部作用时的响应。CHAPTER03平面问题的数学模型直角坐标系下的基本方程平衡方程01在直角坐标系下，弹性体的平衡方程为$\nabla\cdot\sigma=0$，其中$\sigma$为应力向量。几何方程02描述应变与位移的关系，用Green和Rivlin的形式表示为$\varepsilon=\frac{1}{2}(\nablau+\nablau^T)$，其中$\varepsilon$为应变张量，$u$为位移向量。物理方程03描述应力与应变的关系，根据Hooke定律，我们有$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$，其中$\lambda$和$\mu$是拉梅常数。极坐标系下的基本方程平衡方程在极坐标系下，弹性体的平衡方程为$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}(r\sigma_{rr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sigma_{\thetar}-\sigma_{rr})=0$。几何方程在极坐标系下，应变与位移的关系仍然可以用Green和Rivlin的形式表示为$\varepsilon=\frac{1}{2}(\frac{\partialu}{\partialr}+\frac{\partialu^T}{\partialr})$。物理方程在极坐标系下，应力与应变的关系仍然满足Hooke定律，即$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$。边界条件与初始条件边界条件通常给定在边界上的位移、应力或力。例如，在某个边界上给定$u=g(x,y)$，而在另一个边界上给定$\sigma_{nn}=f(x,y)$。初始条件描述系统在初始时刻的状态。例如，在某个初始时刻$t=0$，给定$u(x,y,0)$和$\frac{\partialu}{\partialt}(x,y,0)$。CHAPTER04弹性力学问题的求解方法解析法定义变量和方程解初值和边界条件分析解的性质根据问题的性质，定义适当的变量，并建立描述问题的微分方程。根据问题的初值和边界条件，解对解进行进一步的分析，如分析解的稳定性、收敛性和误差等。出微分方程的解。有限元法01020304划分网格建立方程解方程分析结果将问题所涉及的区域划分为由有限个单元组成的网格。根据问题的性质，建立每个单元的方程，并将其组合成总体方程。解总体方程，得到每个节点的数值解。对结果进行后处理，如分析应力、应变等物理量在单元之间的变化情况。数值解法离散化解方程将连续的问题离散化为由有限个离散点组成的集合。采用适当的数值方法解总体方程，得到每个离散点的数值解。建立方程分析结果根据问题的性质，建立每个离对结果进行后处理，如绘制应力、应变等物理量的分布图。散点的方程，并将其组合成总体方程。CHAPTER05平面问题的实例分析受均布荷载的简支梁定义模型建立受均布荷载的简支梁是指一端固定，利用弹性力学基本方程，包括...
