第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30m，甲楼高40m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1m)解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30×=40+10≈57(m)，即乙楼的高度约为57m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151m，即河宽为151m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400m还是等于400m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D． BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°．在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴tan45°＝，BD＝＝AD，在Rt△AMD中．∠AMD=30°，tan30°=，MD＝=AD， MD=MD-BD，即AD-AD＝400，AD-200(+1)m>400m．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sinα、cosα、tanα的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663．而≈0．4663．我们可以发现＝tanα．[师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°， sinA＝cosA＝tanA＝，∴=tanA,tanA=.这就是说，对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的商等于∠A的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sinα，cosα之间的关系．[生]sin225°≈0．1787,cos225°≈0．8213，可以发现：sin225°+cos225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2α+cos2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA=，cosA=sin2A+cos2A＝，根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1，这就是说,对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA之间的关系．已知cosA=，求sinA．tanA．[生]解：根据sin2A+cos2A＝1．得sinA＝tanA=.[生...
