第十一章线性算子的谱1．设[0,1],()()(),XCAxttxtxX。证明()[0,1]A，且其中没有特征值。证明当[0,1]时，常值函数1不在IA的值域中，因此IA不是满射，这样()A。反之若[0,1]，定义算子1:()RRxtt。则由于[0,1]，且11max()(,[0,1])atbRxxtxtd因此R是C[0，1]中有界线性算子。易验证()()RIAIARI，所以()A。总之()[0,1]A，若Aff，则对任意t，()()tftft，可推得()0ft。由于()[0,1]ftC，必有()0ft，所以A无特征值。证毕。2．设[0,2],()()(),.itXCAxtextxX，证明(){1}A。证明对任意000,()()()()ititititeeIAxteext。因为常值函数1不在0iteIA的值域中，因此0()iteA。这样{1}()A。反之，若1，定义1:()()()itRRxtxte。类似第1题可证R是有界线性算子，且()()RIAIARI。即()A。因此(){1}A。证毕。3．设21223,(,,,)(,,,)nnXlAxAxxxxxxLLLL，试求()A。解对任意，若1，定义(1,,,,)nxLL，显然22,(,,,,)(1,,,,)nnxlAxxLLLL，因此{1}的点都是A的点谱，由于()A是闭集，则{1}()A。对任意xA，显然Axx，因此1A，所以(){}{1}AA。这样我们就证明了(){1}A。4．设F是平面上无限有界闭集，{}n是F的一稠密子集，在2l中定义算子T：1211(,,,)(,,)nnnTxxxxxxLLLL则n都是特征值，(),\{}nTFF中每个点是T的连续谱。证明对任意n，(0,0,,1,0,)neLL，其中1在第n个坐标上。由题设，nnnTee，因此n是T的特征值。又由于()T是闭集，所以{}()nFT。若F，则(,)0dF。定义算子R，若212(,,,)nxxxxlLL，1212111(,,,,)nnRxxxxLL易验证1(,)RxxdF，且()()RITITRI。因此()TF。若{}nF，且212(,,,)nxxxxlLL，使Txx。则对任意n，nnnxx。由于n，则0nx，1,2,nL。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5．设为线性算子nA的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明设是nA的特征值，的n次根为12,,,nL。存在0x，使()0nAIx，则12()()()()0nnAIxAIAIAIxL。若1()0AIx，则1就是A的特征值，否则必有某i，11()()()0iiAIAIAIxL，而11()()()0iiAIAIAIxL，则1i是A的特征值。证毕。6．设A为Banach空间X上的有界线性算子，0()A，又设{}nA为X上一列有界线性算子，且lim0nnAA，证明当n充分大后，nA也以0为正则点。证明00()nnIAIAAA100()[()()]nIAIIAAA。当n充分大时，10()()1nIAAA，这样10()()nIIAAA是可逆的。此可逆性由本章§2定理1可证，又0IA也是可逆的。因此当n充分大后，0nIA也可逆。证毕。7．设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当A时，110()nnnARAI，1RA。证明当A时幂级数01nnnA收敛，因此级数10nnnA必按算子数收敛。11110000()()1nnnnnnnnnnnnAAAAIAIA这就证明了110()nnnAAI，11001nnnnnnAARA。证毕。8．设A为X上的有界线性算子，,()A，则()RRRR。其中与,RR的意义同第7题。证明在等式11()()RRIAIA两边左乘R右乘R得()(()())RRRIAIARRR。因此()RRRR，证毕。9．设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明(*){()}()AAA证明先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且11(*)()*TT。事实上，对任意,xyH，11,,,()**xyTTxyxTTy。这样1,()**0xyTTy对任意xH成立，因此1()**yTTy恒成立，进而1*()*TTI。同理1*()*TTI。这一证明了T*也可逆，且11()*(*)TT。现在设()A，则AI可逆，因此()**AIAI也可逆，从而(*)A。同理若(*)A，则()A，这就证明了(*){()}AA。证毕。10．设1T是1X到2X的全连续算子，2T是2X到3X的有界线性算子，则21TT是1X到3X的全连续算子。证明设{}nx是1X中有界点列。因为1T全连续，所以1{}nTx中必有收敛子列。我们记之为1{}knTx。又因为2T有界，所以21{}knTTx也收敛，因此21{}nTTx有收敛子列。这就证明了21TT是全连续算子。证毕。11．设A是2l上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)nneLL14243个，1kjkjjAeae其中2,1kijijAea，证明A是全连续的。证明若12(,,,)nxxxxLL，定义11:()nnnkjkjjkAAxxae：则nA是有界秩算子，且2211()nkjkjnkAAxxa22111()()kjkjnkkxa2211jkjnkax所以2110njkjnkAAa()n。由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。12．ne的符号同第11题。作2l上算子U。11,1,2,.kkUeekkL证明U是2l上全连续算子且(){0}U。证明若21iiixxel，则111iiiUxxei。令111niiiUxxei，则nU是有限秩算子，且222211111()()...
