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实变函数与泛函分析基础第二版程其襄第11章课后习题答案VIP免费

实变函数与泛函分析基础第二版程其襄第11章课后习题答案_第1页
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实变函数与泛函分析基础第二版程其襄第11章课后习题答案_第2页
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实变函数与泛函分析基础第二版程其襄第11章课后习题答案_第3页
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第十一章线性算子的谱1.设[0,1],()()(),XCAxttxtxX。证明()[0,1]A,且其中没有特征值。证明当[0,1]时,常值函数1不在IA的值域中,因此IA不是满射,这样()A。反之若[0,1],定义算子1:()RRxtt。则由于[0,1],且11max()(,[0,1])atbRxxtxtd因此R是C[0,1]中有界线性算子。易验证()()RIAIARI,所以()A。总之()[0,1]A,若Aff,则对任意t,()()tftft,可推得()0ft。由于()[0,1]ftC,必有()0ft,所以A无特征值。证毕。2.设[0,2],()()(),.itXCAxtextxX,证明(){1}A。证明对任意000,()()()()ititititeeIAxteext。因为常值函数1不在0iteIA的值域中,因此0()iteA。这样{1}()A。反之,若1,定义1:()()()itRRxtxte。类似第1题可证R是有界线性算子,且()()RIAIARI。即()A。因此(){1}A。证毕。3.设21223,(,,,)(,,,)nnXlAxAxxxxxxLLLL,试求()A。解对任意,若1,定义(1,,,,)nxLL,显然22,(,,,,)(1,,,,)nnxlAxxLLLL,因此{1}的点都是A的点谱,由于()A是闭集,则{1}()A。对任意xA,显然Axx,因此1A,所以(){}{1}AA。这样我们就证明了(){1}A。4.设F是平面上无限有界闭集,{}n是F的一稠密子集,在2l中定义算子T:1211(,,,)(,,)nnnTxxxxxxLLLL则n都是特征值,(),\{}nTFF中每个点是T的连续谱。证明对任意n,(0,0,,1,0,)neLL,其中1在第n个坐标上。由题设,nnnTee,因此n是T的特征值。又由于()T是闭集,所以{}()nFT。若F,则(,)0dF。定义算子R,若212(,,,)nxxxxlLL,1212111(,,,,)nnRxxxxLL易验证1(,)RxxdF,且()()RITITRI。因此()TF。若{}nF,且212(,,,)nxxxxlLL,使Txx。则对任意n,nnnxx。由于n,则0nx,1,2,nL。这样x=0,因此不是特征值,而是连续谱。证毕。5.设为线性算子nA的特征值,则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明设是nA的特征值,的n次根为12,,,nL。存在0x,使()0nAIx,则12()()()()0nnAIxAIAIAIxL。若1()0AIx,则1就是A的特征值,否则必有某i,11()()()0iiAIAIAIxL,而11()()()0iiAIAIAIxL,则1i是A的特征值。证毕。6.设A为Banach空间X上的有界线性算子,0()A,又设{}nA为X上一列有界线性算子,且lim0nnAA,证明当n充分大后,nA也以0为正则点。证明00()nnIAIAAA100()[()()]nIAIIAAA。当n充分大时,10()()1nIAAA,这样10()()nIIAAA是可逆的。此可逆性由本章§2定理1可证,又0IA也是可逆的。因此当n充分大后,0nIA也可逆。证毕。7.设A是为Banach空间X上的有界线性算子,则当A时,110()nnnARAI,1RA。证明当A时幂级数01nnnA收敛,因此级数10nnnA必按算子数收敛。11110000()()1nnnnnnnnnnnnAAAAIAIA这就证明了110()nnnAAI,11001nnnnnnAARA。证毕。8.设A为X上的有界线性算子,,()A,则()RRRR。其中与,RR的意义同第7题。证明在等式11()()RRIAIA两边左乘R右乘R得()(()())RRRIAIARRR。因此()RRRR,证毕。9.设A是Hilbert空间H上的有界线性算子,A*为A的共轭算子,证明(*){()}()AAA证明先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子,若T可逆,则T*也可逆,且11(*)()*TT。事实上,对任意,xyH,11,,,()**xyTTxyxTTy。这样1,()**0xyTTy对任意xH成立,因此1()**yTTy恒成立,进而1*()*TTI。同理1*()*TTI。这一证明了T*也可逆,且11()*(*)TT。现在设()A,则AI可逆,因此()**AIAI也可逆,从而(*)A。同理若(*)A,则()A,这就证明了(*){()}AA。证毕。10.设1T是1X到2X的全连续算子,2T是2X到3X的有界线性算子,则21TT是1X到3X的全连续算子。证明设{}nx是1X中有界点列。因为1T全连续,所以1{}nTx中必有收敛子列。我们记之为1{}knTx。又因为2T有界,所以21{}knTTx也收敛,因此21{}nTTx有收敛子列。这就证明了21TT是全连续算子。证毕。11.设A是2l上线性算子,记1(0,0,,0,1,0,)nneLL14243个,1kjkjjAeae其中2,1kijijAea,证明A是全连续的。证明若12(,,,)nxxxxLL,定义11:()nnnkjkjjkAAxxae:则nA是有界秩算子,且2211()nkjkjnkAAxxa22111()()kjkjnkkxa2211jkjnkax所以2110njkjnkAAa()n。由本章§3定理2,A是全连续算子。证毕。12.ne的符号同第11题。作2l上算子U。11,1,2,.kkUeekkL证明U是2l上全连续算子且(){0}U。证明若21iiixxel,则111iiiUxxei。令111niiiUxxei,则nU是有限秩算子,且222211111()()...

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