一、教学内容:1、无理数的概念2、平方根的概念、表示、求法3、算术平方根的表示、概念、求法二、教学目标1、掌握无理数的概念,会判断一个数是否是无理数。2、理解平方根的概念,会求一个非负数的平方根。3、理解算术平方根的概念,会求一个非负数的算术平方根。4、能应用平方根和算术平方根解决问题。三、知识要点分析1、无理数的概念(这是重点)无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如;无理数也不一定带根号,如圆周率.2、算术平方根(这是重点)如果一个数x的平方等于a即,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作“”,读作根号“a”;规定0的算术平方根即=0,如,那么2叫做4的算术平方根。3、平方根(这是重、难点)平方根:如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根);①平方根的意义:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根;②开方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数。【典型例题】考点一:无理数的概念例1.如图,每个小正方形的边长为1,四边形ABCD的AC、BD相交于O,试说明边长AB、BC、CD、AD和对角线AC、BD的长度哪些是有理数,哪些不是有理数。【思路分析】从图上看AC、BD、AB是有理数,因此BC、CD、AD的长度不是有理数.解:AC=7,BD=5是有理数,而AO=4,BO=3,CO=3,DO=2,由勾股定理AB2=32+4=25,AB=5是有理数,而BC2=32+32=18,CD2=32+22=13,AD2=42+22=20,因此BC、CD、AD的长度不是有理数。方法与规律:利用网格的特点进行分析,并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数,什么不是有理数。例2如图,在△ABC中,AC=b,CD=5,高AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD的平方是b2-25,由于b的取值不同,结果不一样,不妨试一试解:可能是整数,可能是分数,也可能是无理数.方法与规律:根据有理数的特点,只要这个数是整数或分数则属于有理数,否则,不是有理数。考点二:算术平方根例3.求下列各数的算术平方根。(1)225(2)(3)(4)【思路分析】求一个正数的算术平方根,只要先找出一个正数的平方等于这个数,不必考虑负数平方等于这个数;如果一个数为带分数,一般先化成假分数,再求其算术平方根。解:(1)因为152=225,所以225的算术平方根是15,即=15。(2)因为=,所以的算术平方根是,即=。(3)1=,因为()2=,所以1的算术平方根是(或1),即=1。(4)因为(-)2=()2,所以的算术平方根是,即=方法与规律:根据算术平方根的定义,首先确定哪个数的平方等于这个数,然后求出这个数的算术平方根。考点三:平方根例4:求下列各数的平方根。(1)0.36(2)(-1.3)(3)(4)31【思路分析】求一个正数的平方根,先找出平方等于这个正数的数,这样的数有两个,互为相反数,不能只考虑正数而把负数遗漏了;如果一个数为带分数则一般先化为假分数;如果这个正数a不能写成有理数的平方形式,则可以将a的平方根表示成±。解:(1)因为(±0.6)=0.36,所以0.36的平方根是±0.6,即±=±0.6。(2)因为,所以的平方根是±1.3,即±=±1.3。(3),因为(±)=,所以的平方根是±,即±=±。(4)31的平方根是±。方法与规律:掌握平方根的定义,首先确定哪个数的平方等于这个数,然后求出这个数的平方根,注意书写。考点四:平方根与算术平方根的应用例5:已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x,求这个数。【思路分析】根据平方根的性质,若一个数有两个平方根,它们互为相反数,所以2x+1与3-x互为相反数,即(2x+1)+(3-x)=0.解:根据题意,得(2x+1)+(3-x)=0,解这个方程,得x=-4当x=-4时,2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49.友情提示:本题是逆用平方根的性质.例6:借助计算器计算下列各题:(1)=______;(2)(3)(4)仔细观察上面几道题及其计算的结果,试猜想:=______.【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)—(4)的拓展,用计算器得出(1)—(4)的结果后,便可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由4和3组成的,且数字4的个数和3的个数相等,因此当被开方...