第4讲因式分解（二）【知识精读】1、分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。2、对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式分解因式，所得的结果为（）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式故选择C例2.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：解法2：2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3.在方程中的应用例：求方程的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解解：4、中考点拨例1.分解因式：_____________。解：说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2．分解因式：____________解：说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例3.分解因式：____________解：说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例1.分解因式：解：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。例2.已知：，求ab+cd的值。说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式：分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。解一（拆项）：解二（添项）：说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知：，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。（2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：此时，原式2.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：或又解得：或∴长方形的面积为15cm2或3、在代数证明题中的应用例.证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一： 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）∴是7的倍数而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。证明二： 是7的倍数，设（m是整数）则又 x，m是整数，∴也是整数所以，是49的倍数。4、中考点拨例1.把分解因式的结果是________________。解：说...
