专题能力训练12空间几何体专题能力训练第30页一、能力突破训练1.球的体积为4√3π,平面α截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面α的距离为()A.1B.√2C.√3D.√6答案:B解析:依题意,设该球的半径为R,则有4π3R3=4√3π,解得R=√3,因此球心O到平面α的距离d=√R2-12=√2.2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D.π4答案:B解析:设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r=√12-(12)2=√32.∴圆柱的体积为V=πr2h=34π×1=3π4.故选B.3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且BPPD1=12,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为()A.1B.32C.92D.与M点的位置有关答案:B解析: BPPD1=12,∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的13,即为D1C13=1. M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=12×3×3=92,∴VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32.4.已知平面α截球O的球面得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为π6,且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为()A.3B.√13C.4D.√21答案:B解析:如图, OA=5,AM=3,∴OM=4. ∠NMO=π3,∴ON=OM·sinπ3=2√3.又OB=5,∴NB=√OB2-ON2=√13,故选B.5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为√3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积是()A.2πB.4πC.8πD.10π答案:C解析:根据余弦定理可知,BC=√3,则∠ACB=90°.如图,点E,F分别是斜边AB,A'B'的中点,点O为EF的中点,则点O为三棱柱外接球的球心,连接OA.设三棱柱的高为h,V=12×1×√3×h=√3,解得h=2,R2=OA2=(12AB)2+(12ℎ)2,代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面积为S=4πR2=8π.6.已知三棱锥A-BCD内接于半径为√5的球O中,AB=CD=4,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为()A.43B.83C.163D.323答案:C解析:如图,过CD作平面ECD,使AB⊥平面ECD,交AB于点E,设点E到CD的距离为EF,当球心在EF上时,EF最大,此时E,F分别为AB,CD的中点,且球心O为EF的中点,所以EF=2,所以Vmax=13×12×4×2×4=163,故选C.7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为.答案:77π2解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分别为x,y,z,则x2+y2+z2=772,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=77π2.8.如图所示,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为.答案:140π3解析:由题知,旋转一周后形成的几何体是一个圆台去掉一个半球,其中圆台的体积为V=13×(π×22+√π×22×π×52+π×52)×4=52π,半球的体积V=12×43×π×23=16π3,则所求体积为52π-16π3=140π3.9.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.答案:40√2π解析:设O为底面圆圆心, cos∠ASB=78,∴sin∠ASB=√1-(78)2=√158.∴S△ASB=12×|AS|·|BS|·√158=5√15.∴SA2=80.∴SA=4√5. SA与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°,∴SO=OA=√22SA=2√10.∴S圆锥侧=πrl=4√5×2√10×π=40√2π.10.已知正四棱锥P-ABCD中,PA=2√3,则当该正四棱锥的体积最大时,它的高h等于.答案:2解析:设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a, PA=2√3,∴(√2a2)2+h2=12,即a22+h2=12,故a2=24-2h2,∴正四棱锥P-ABCD的体积V=13a2h=8h-23h3(h>0),∴V'=8-2h2.令V'>0,得02,∴当h=2时,正四棱锥P-ABCD的体积取得最大值.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).12.如图所示,等腰三角形ABC的底边AB=6√6,高...
