专题限时集训(十)空间几何体表面积或体积的求解建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图1013所示，则该三棱锥的侧视图可能为()图1013D分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.]2．(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图1014所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()图1014A.B.C．2D.B由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，∴体积V＝××＝，故选B.]3．(2016·开封一模)在三棱锥PABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为()【导学号：85952038】A.πB．πC.πD.πD由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，∴R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S＝4πR2＝π，故选D.]4．(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图1015所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()图1015A.B．2C．3D．4B分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V＝×22×3－××2×＝2，故选B.]5．(2016·广州二模)如图1016，网格纸上小正方形的边长为1，图1016粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()A．8＋8＋4B．8＋8＋2C．2＋2＋D.＋＋A在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为8＋8＋4.]二、填空题6．(2016·昆明一模)已知三棱锥PABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．3＋2依题意，边长是的等边△ABC的外接圆半径r＝·＝1. 球O的表面积为36π＝4πR2，∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝＝2，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2.]7．(2016·山东省实验模拟)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝________.如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝.]8．(2016·海口二模)半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．16(π－)设内接正四棱柱底边长为a，高为h，那么16＝2a2＋h2≥2ah，正四棱柱的侧面积S＝4ah≤16，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16(π－)．]三、解答题9．(2016·合肥二模)如图1017，P为正方形ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E为PD的中点．图1017(1)求证：PA⊥CE；(2)求四棱锥PABCD的表面积．解](1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面． PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.3分 PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B，∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE.6分(2)设四棱锥PABCD的表面积为S， PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，8分由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形．S▱ABCD＝2×2＝4，S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝×2×2＝2，S△PCD＝×2×＝2，10分∴S表＝S▱ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD＝10＋2.12分10．(2016·湖北七市模拟)如图1018，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.图1018(1)求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高．解](1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，...
