专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2D y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]2．(2016·石家庄一模)过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A．0B．2C．4D．无数C过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2016·唐山二模)椭圆y2＋＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是()A.B．C.D.B当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)≥，从而，即1－m2≥，又0＜m＜1，所以0＜m≤.]4．(2016·海口二模)设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D.A因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有×2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.]5．(2016·兰州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()【导学号：85952052】A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D.＋＝1D椭圆的离心率e＝＝＝，所以a＝2b.所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]二、填空题6．(2016·合肥二模)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.]7．(2016·邯郸二模)已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.【导学号：85952053】25由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××(2a＋2c)＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]8．(2016·平顶山二模)如图141，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．图141因为△ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|－|BF1|＝2a，从而|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，整理得c2＝7a2，则e2＝7，从而e＝.]三、解答题9．(2016·唐山一模)在△ABC中，A(－1,0)，B(1,0)，若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)．(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．解](1)由题意可设C(x，y)，则G，H，BH＝，AC＝(x＋1，y).2分因为H为垂心，所以BH·AC＝x2－1＋＝0，整理可得x2＋＝1，即动点C的轨迹方程为x2＋＝1(x·y≠0).4分(2)显然直线AC的斜率存在，设AC的方程为y＝k(x＋1)，C(x0，y0)．将y＝k(x＋1)代入x2＋＝1得(3＋k2)x2＋2k2x＋k2－3＝0，6分解得x0＝，y0＝，则H.8分原点O到直线AC的距离d＝，依题意可得＝，10分即7k4...
