初二尖子班第七讲倍长中线与截长补短（二）模块一：倍长中线知识导航定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的二倍其目的是构造一对对顶的全等三角形ABED其中BD=CD,延长AD使得DE=AD,则ΔBDE≌CDA引例求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤(AB+AC)分析：要证明AD﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。在△ADB和△EDC中，BCDAEAD=DE∠ADB=∠EDCBD=DC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD﹤(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。例题1．中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC2.△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围CDAB3.已知在△ABC中AB=BD,AE是BD边上的中线，延长BD到C,使BD=DC,求证AC=2AE.4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFFEDABCEDABC模块二截长补短定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段ABCD在线段AB上截取AD=AC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等ABC延长AC,使得AE=AB引例：已知：在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.DCBA12求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。EDCBA12FDCBA125.在△ABC中，A的平分线交BC于点D,AB=AC+CD,B=40°，求C的大小？ABCD6.在△ABC中，B=2C,BAC的角平分线AD交BC于D,求证：AB+BD=ACABDCADBCE7.在△ABC中，AB=CD-BD,AD⊥BC,求证B=2C8.如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：（1）DE⊥EC(2)CD=AD+BC.ABCD练习题：1.已知△ABC中，AB=12,AC=30,求BC边上的中线AD的范围。2.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE3.在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论EDABCFEABCD4.已知，如图,在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.5.已知：如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，求证DE+BF=EF6.如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.ABCDFEDCBADBACEF7.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBA
